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Jacobi sums as “Größencharaktere”. (English) Zbl 0048.27001
Ein mod \(\mathfrak m\) erklärbarer Heckescher Größencharakter (H. G.) \(\lambda(\mathfrak a)\) in einem endlich-algebraischen Zahlkörper \(K\) ist eine komplexwertige Funktion der ganzen zu \(\mathfrak m\) primen endlichen Divisoren \(\mathfrak a\) von \(K\) mit den Eigenschaften
1. \(\lambda(\mathfrak{ab}) = \lambda(\mathfrak a) \lambda(\mathfrak b)\), falls \(\mathfrak a\), \(\mathfrak b\) zu \(\mathfrak m\) prim sind,
2. \(\lambda((\alpha)) = \prod_{\nu=1}^n\alpha_\nu^{e_\nu} \prod_{\nu=1}^n|\alpha_\nu|^{c_\nu}\), falls \(\alpha\equiv 1 \bmod \mathfrak m\), wobei die \(e_\nu\) ganzrationale und die \(c_\nu\) komplexe Zahlen sind und mit \(\alpha_\nu\) die Konjugierten der Zahl \(\alpha\in K\) bezeichnet werden.
Ist \(\mathbb Q(\zeta)\) der Körper der \(m\)-ten Einheitswurzeln \((m > 1)\) über dem rationalen Zahlkörper \(\mathbb Q\), \(a = (a_\rho)_{1\leq\rho\leq r}\) ein System ganzrationaler Zahlen mod \(m\), \(\mathfrak p\) ein zu \(m\) primer Primdivisor von \(\mathbb Q(\zeta)\) mit \(N(\mathfrak p) = q\) und \(\chi_{\mathfrak p}(x)\) gemäß
\[ \chi_{\mathfrak p}(x) \begin{cases} \equiv x^{(q-1)/m} \bmod \mathfrak p, & \text{ falls }x\in \mathbb Q(\zeta)\text{ ganz and prim zu }\mathfrak p, \cr = 0 & \text{ falls } x\equiv 0 \bmod \mathfrak p, \end{cases} \]
ein Multiplikativcharakter der Ordnung \(m\) des Restklassenkörpers von \(\mathbb Q(\zeta) \bmod \mathfrak p\), so heißt die Charaktersumme
\[ J_a (\mathfrak p) = (-1)^{r+1} \sum \chi_{\mathfrak p}(x_1)^{a_1} \cdots \chi_{\mathfrak p}(x_r)^{a_r}, \tag{1} \] wobei über ein Vertretersystem \(x_1,\dots, x_r \bmod \mathfrak p\) mit \(x_1+\ldots + x_r \equiv -1(\mathfrak p)\) summiert wird, eine \(r\)-gliedrige Jacobische Summe (J. S.). Die durch (1) und die Festsetzung
\[ J_a(\mathfrak{ab}) = J_a(\mathfrak a) J_a(\mathfrak b),\tag{2} \] falls \(a\neq (0)\) und \(\mathfrak a\), \(\mathfrak b\) ganze zu \(m\) prime Divisoren von \(\mathbb Q(\zeta)\) sind, definierte Funktion \(J_a(\mathfrak a)\) ist ein mod \(m^2\) erklärbarer H. G. in \(\mathbb Q(\zeta)\).
Zum Beweis benutzt Verf., daß jede J. S. \(J_a(\mathfrak p)\) als Produkt von Gaußschen Summen (G. S.) im Galoisfeld \(\mathbb Q(\zeta) \bmod \mathfrak p\) darstellbar ist (vgl. A. Weil [Bull. Am. Math. Soc. 55, 497–508 (1949; Zbl 0032.39402)], und folgert aus der arithmetischen Charakterisierung dieser G. S. die Divisordarstellung
\[ J_a(\mathfrak a) \cong \mathfrak a^{\omega(a)}, \] wobei \(\omega(a)\) ein nur von \(a = (a_\rho)\) abhängiges Element des Gruppenringes der Galoisgruppe von \(\mathbb Q(\zeta)\) über \(\mathbb Q\) mit ganzrationalen Koeffizienten ist; speziell für alle \(\alpha\in\mathbb Q(\zeta)\) mit \(\alpha\equiv 1 \bmod m^r\) ist \(J_a ((\alpha)) = \alpha^{\omega(a)}\), d. h. \(J_a(\mathfrak a)\) ist ein mod \(m^r\) erklärbarer H. G. (hier sind alle \(c_\nu = 0)\). Da \(J_a(\mathfrak p)\) sich als Produkt 2-gliedriger J. S. darstellen läßt, ist \(J_a(\mathfrak a)\) schon mod \(m^2\) erklärbar \((m^2\) ist jedoch i. a. nicht der genaue Führer) und nach Angabe des absoluten Betrages kann \(J_a(\mathfrak a)\) leicht auf den absoluten Betrag 1 normiert werden.
Im Fall der algebraischen Kurve
\[ Y^e = \gamma X^f + \delta \tag{3} \] über einem endlich-algebraischen Zahlkörper \(k\) besagt eine Vermutung von Hasse, daß das unendliche Produkt \(Z(s)=\prod Z_{\mathfrak p}(N(\mathfrak p)^{-s})\) über alle zu \(e\, f\, \gamma\, \delta\) primen Primdivisoren \(\mathfrak p\) von \(k\), wobei \(Z_{\mathfrak p}(U)\) die Kongruenzzetafunktion der Kurve (3) über dem Restklassenkörper von \(k \bmod \mathfrak p\) ist, eine meromorphe Funktion liefert, die einer Funktionalgleichung des bekannten Typus genügt. Verf, beweist diese Behauptung für die Kurve (3), indem er noch weitergehend zeigt, daß unendliche Produkte von gewissen abelschen \(L\)-Reihen, wie sie als Bausteine in den \(Z_{\mathfrak p}(U)\) auftreten, jeweils \(L\)-Reihen von \(k\) mit H. G. des durch (1) und (2) definierten Typus sind.
Reviewer: E. Lamprecht

MSC:
11Rxx Algebraic number theory: global fields
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