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A new method in analysis and its applications. (Eine neue Methode in der Analysis und deren Anwendungen.) (German) Zbl 0052.04601

Budapest: Akadémiai Kiadó, 196 p. (1953).
Verf. gibt eine lehrbuchmäßige zusammenfassende Darstellung seiner Methode und der bisher betrachteten Anwendungen [vgl. Zbl 0026.20304; Zbl 0029.29104; Zbl 0029.39302; Zbl 0029.39501; Zbl 0033.14701; Zbl 0040.01601; Zbl 0031.34804; Zbl 0041.37102; Zbl 0040.02303; Zbl 0043.12402; Zbl 0044.03802; Zbl 0048.31102].
Er gibt neue Resultate und weist auf neue Probleme hin. Es soll eine kurze, unvollständige ’Übersicht gegeben werden. Setzen wir \[ S(a;z;m,n;s) = S(a_1,\ldots, a_k; z_1,\ldots, z_k; m, n; s) = \text{Min}_{m\le i\le n} \left\vert \sum_{j=1}^k a_jz_j^t\right\vert \bigl/ M_s(t);\] \[U(a;m,n;s) = \text{Min}\, S\]
erstreckt über alle komplexen Zahlen \(z_1,\ldots, z_k\),
\[M_1 = \text{Min}\,\vert z_j\vert^t,\qquad M_2 = \text{Max}\,\vert z_j\vert^t,\] \[M_3 = \sum_j \vert a_j\vert \,\vert z_j\vert^t, \qquad M_4 = \left(\sum_j \vert a_j\vert^2 \,\vert z_j\vert^{2t}\right)^{1/2},\] so handelt es sich bei der Turánschen Methode um die Abschätzung von \(U\) nach unten für \(s = 1\) und \(2\).
[Der Dirichletsche und Kroneckersche Approximationssatz liefern für \(s = 3\) solche Abschätzungen nach unten, wo sich aber \(t\) schlecht oder gar nicht lokalisieren läßt; \(s = 4\) wurde von N. Wiener [Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, II. Ser. 3, 367–372 (1934; Zbl 0010.02803)] implizit in seiner Untersuchung über den Fabryschen Lückensatz betrachtet.]
Die Hauptsätze lauten: (Satz 7)
\[ S(a; z; m, m+k; 1) \ge \left(\sum a_j\right) (2k/2e(m+k))^k \tag{1} \]
für \(m\ge 0\). Wenn \(m\) ganz ist, gilt diese Abschätzung auch für \(S(a; z; m+1, m+k; 1)\) für \(m\ge -1\).
(Satz 9): \[ S(a; z; m, m+k; 2) \ge (k/24 e^2 (m + 2k))^k F(a_1, \ldots,a_k), \tag{2}\]
wo \(F(a_1, \ldots,a_k)\) vom ersten Grad in den \(a\), aber von nicht so einfacher Gestalt wie in Satz 7 ist. Ist die Numerierung so getroffen, daß \(\vert z_1\vert \ge \vert z_2\vert \ge\ldots\ge \vert z_k\vert\) ist, dann kann \(F = \text{Min}_j \,\vert a_1 +\ldots +a_j\vert\) genommen werden. Der Beweis von (2) ist natürlich schwieriger als der von (1).
Die kompliziertere Gestalt von (2) beschränkt einstweilen die Anwendung von (2) auf den Fall \(a_1 = \ldots = a_k = 1\). In diesem Fall lassen sich (1) und (2) verschärfen, und zwar insbesondere für \(m = 1\). Auch dieser Spezialfall ist von besonderem Interesse, und zwar gilt (Satz 1; Satz 2) \[ U(1; 1, k; 1) \ge 1;\quad 1 \ge U(1; 1, k; 2) > \log 2(1 + 1/2 + \ldots+ 1/k)^{-1} \tag{3}.\]
Dabei ist im Satz 1 die Abschätzung scharf. Für Satz 2 besteht die Vermutung, daß nicht nur \(U > 0,69/\log(k + 1)\) ist, sondern daß es eine absolute Konstante \(c\) gibt, so daß \(U \ge c\) ist. Wichtig ist die Bemerkung (von P. Erdős), daß die im Vergleich zur obigen Abschätzung scheinbar grobe Abschätzung (aus Satz 9) \(U (1; 2, k+1; 2) > 374^{-k}\) doch das Richtige trifft.
Weiter gilt \(U(1; 1, 2k; 2)\ge 1/2\) (Satz von N. Schweitzer) und z. B.
\(1 \ge U(1; 1, 2+[k\varepsilon^{-1}\cdot \log(2k/\varepsilon)]; 2) \ge 1 - \varepsilon\) \((0 < \varepsilon < 1)\) (Turán – A. Rényi).
Weitere wichtige Sätze sind die Sätze 11 und 12. Die Anwendungen bringen
1) Einen Satz von Littlewood.
2) Ist \(F(x) = \sum_{j=0}^k (a_j \cos n_jx + b_j\sin n_jx)\) \((0 = n_0 < n_1 < \ldots < n_k)\) und \(0 < b < 2\pi\), dann ist \[\max_{0\le x\le 2\pi} \vert f(x)\vert = (2e\pi/b)^{2k+1} \text{Max}_{\vert x\vert \le b} \vert f(x)\vert.\]
3) Die obere Abschätzung der Anzahl \(N(f; a, a+d)\) der Wurzeln des fastperiodischen Polynoms \(f(x) =\sum_{\nu = 0}^N a_\nu \cos \lambda_\nu x\) \((0=\lambda_0< \lambda_1 < \ldots < \lambda_n)\) in \((0 <)\ a\le X\le a+d\).
4) Potenz- und Dirichletreihen mit Lücken. Neuartig ist der Satz 19:
Ist \(U(r, \varphi) = \sum r^{\lambda j}\cdot(a_j \cos \lambda_j\varphi + b_j \sin \lambda_j\varphi)\) in der ganzen Ebene eine konvergente harmonische Entwicklung mit Fabryscher Lückenbedingung \(\lim_{j\to\infty} \lambda_j/j = \infty\), dann ist für alle \(r > r_0(U, \varepsilon, \beta - \alpha)\), \(0 < \varepsilon < 1/2\),
\[ M(r)^{1+ \varepsilon} \le 8(8e\pi/(\beta - \alpha))^4 \, M(2r)^{2\varepsilon}\, M(r, a, \beta) \] \((M = \text{Max}_{\varphi} \vert U(r, \varphi)\vert\), \(M(r,a, \beta) = \text{Max}_{\alpha\le\varphi\le \beta} \vert U(r, \varphi)\vert)\). Daraus folgt ein analoger Satz über Potenzreihen \(\sum a_jz^{\lambda j}\), welche der Fabrybedingung genügen.
5) Zur Theorie der quasianalytischen Funktionen und der Randwerte analytischer Funktionen.
6) Über die Verschiebung ganzer Funktionen: Was kann über die Ordnung und den Typus der ganzen Funktion \(\sum_{j=1}^N b_jh(z\tau_j)\) ausgesagt werden, in Abhängigkeit von der Ordnung und dem Typus der ganzen Funktion \(h(z)\).
7) Zur Theorie der Differentialgleichungen. Es wird z. B. folgende ,,finitisierte” Form des Satzes von Poincaré-Perron aufgestellt (Satz 24):
Ist \(\dot y_j =\sum_{i=1}^N f_{ij}(t) y_i(t)\) \((i=1,\ldots,n)\) ein System (die \(f\) in \(0 \le a\le t\le a+d\) stetig) \(B = \max \vert f_{ij}(a)\vert\), \(M = \max_{a\le t\le a+d} \sum_{i,j} \vert f_{ij}(t) - f_{ij}(a)\vert^2\) und ist
\[ M \le (1/4n^2d^2) (d/2e(a+d))^{2n} \exp (2(l-(n+1) B)a - 2nd (2B+1)) \le 1 \] \((l> 0 = \) Minimum der Realteile der Nullstellen der Säkulargleichung \(\text{Det}(f_{ij}(a) - \lambda\delta_{ij}) = 0)\), dann ist
\[ \max_{a\le t\le a+d} \sum_{i=1}^n \vert y_i(t)\vert^2 \ge \left( \sum_{i=1}^n \vert y_i(0)\vert^2\right) (e^{2la/4n^2 d^2}) (d/2e(a+d))^{2n}.\]
8) Angenäherte Lösung algebraischer Gleichungen: Methoden von Graeffe-Bernoulli.
Satz 2 und Satz 4 liefert z. B., wenn die \(z_j\) mit \(\vert z_1\vert\ge \vert z_2\vert\ge \ldots \ge\vert z_n\vert\) die Nullstellen von \(f_0(z) = a_0 +\ldots + a_n z^n\) \((a_n = 1)\), \(f_n(z)\) die Graeffeschen transformierten Polynome von \(f_0(z)\) sind, \(s_{jk}\) die Potenzsummen zu \(f_\lambda\) vom Grad \(j\) bedeuten, daß \[ 2^{-k}\log 1/n \le \log \vert z_1\vert - 2^{-k}\log(max_{j=1,\ldots,2n} \vert s_{j\lambda} \vert^{1/j}\le 2^{-k}\log 2. \]
Wenn nur die \(s_{jk}\) mit \(1\le j\le n\) herangezogen werden, dann muß in der oberen Abschätzung \(\log 2\) durch \(-\log\) der unteren Schranke in (3) ersetzt werden (wo \(k\) durch \(n\) zu ersetzen ist).
9) Anwendungen auf die Theorie der Zetafunktion und die Theorie des Restgliedes im Primzahisatz. (Quasi-Riemannsche Vermutung; vgl. dazu auch Zbl 0031.34804; Satz von Carlson usw. Gerade diese Probleme bildeten für den Verf. den Ausgangspunkt seiner Methode.)
Der Verf. entwickelt seine Überlegungen in ausführlicher und sehr anregender Weise. Es liegt hier ein sehr bedeutendes Werk vor.

MSC:

30B10 Power series (including lacunary series) in one complex variable
11N30 Turán theory
30-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to functions of a complex variable
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory