×

\(q\)-Bernoulli and Eulerian numbers. (English) Zbl 0058.01204

In einer früheren Arbeit [Duke Math. J. 15, 987–1000 (1948; Zbl 0032.00304)] definierte der Verf. die rationalen Funktionen \(\eta_m\) der Unbestimmten \(q\) durch die symbolischen Formeln (in welchen nach der Entwicklung \(\eta^m\) durch \(\eta_m\) ersetzt wird) \((q\eta+1)^m=\eta^m\) \((m>1)\), \(\eta_0=1\), \(\eta_1=0\) und die polynome \(\eta_m(x)\) durch \(\eta_m(x)=\eta_m(x,q)=([x]+q^x\eta)^m\), wobei die Abkürzung \([x]=(q^x-1)/(q-1)\) benutzt wurde. Schließlich definierte Verf. noch \[ q^x\beta_m(x)=\eta_m(x)+(q-1)\eta_{m+1}(x)\quad \beta_m(0)=\beta_m. \]
Für \(q=1\) ergeben sich für \(\beta_m\) bzw. \(\beta_m(x)\) die Bernoullischen Zahlen bzw. die Bernoullischen Polynome. Unter der Abkürzung \[ {x\brack m}=\frac{(q^x-1)(q^{x-1}-1)\cdots (q^{x-m+1}-1)}{(q-1)(q^2-1)\cdots (q^m-1)} \] führt Verf. in der vorliegenden Arbeit die folgenden Definitionen ein: \(A_{ms}=A_{ms}(q)\) durch \([x]^m={x\brack 1}^m=\sum_{s=1}^m A_{ms} {x+s-1\brack m}\), \((m\geq 1)\). \(H_m=H_m(x)\) durch die symbolische Formel \((qH+1)^m=xH^m\), \(H_0=1\), \(H_1=1/(x-q)\). Schließlich \(A_m(x,q)=\sum_{s=1}^m A_{ms}x^{s-1}\) \((m\geq 1)\). Verf. beweist zehn Sätze, von denen wir als Beispiel die folgenden erwähnen:
Satz 1. Es sei \(p\geq 3\), Primzahl, \(q=a\equiv 1\pmod p\). Dann gilt \(p\beta_m\equiv -1\pmod p\) für \(p-1\mid m\), bzw. \(\equiv 0\pmod p\) für \(p-1\nmid m\).
Satz 8. Es seien \(q=a\) und \(x\) rationale Zahlen, die (mod \(p\)) ganz sind. Ferner sei \(x\not \equiv a^s\pmod p\) für jedes \(s\). Sei \(p^{c-1}(p-1)\mid w\) und \(r\geq 1\). Dann ist \(H^m(x)\cdot(H^w(x)-1)^r\equiv 0\pmod{p^m,p^{rc}}\).
Die Arbeit enthält einige störende Druckfehler.
Reviewer: H.-J. Kanold

MSC:

11B68 Bernoulli and Euler numbers and polynomials
05A30 \(q\)-calculus and related topics

Citations:

Zbl 0032.00304
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI