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Harmonic functions and boundary value problems on a chain complex. (Harmonische Funktionen und Randwertaufgaben in einem Komplex.) (German) Zbl 0061.41106
Auf einer Teilmenge \(\neq 0\) von Ecken eines Streckenkomplexes \(K\) sei eine reelle Funktion \(f\) erklärt; die Definition von \(f\) soll auf die übrigen Ecken von \(K\) so ausgedehnt werden, daß für jede dieser restlichen Ecken gilt: Der Wert von \(f\) an einer Ecke ist gleich dem arithmetischen Mittel an allen jenen Ecken, die mit der Ecke durch eine Strecke verbunden sind. Das Problem läßt sich mit Hilfe der Begriffe Kette mit reellen Koeffizienten, Rand, Korand, Skalarprodukt von Ketten formulieren; die Lösung wird bewerkstelligt vermöge Orthogonalprojektion im Vektorraum der Ketten, und von hier aus ergeben sich leicht die Bedingungen für Existenz und Eindeutigkeit. Die angegebene Formulierung und Lösung lassen sich auf höhere Dimensionen verallgemeinern. Die Projektionsmethode wird auch auf das Problem der Stromverteilung in einem Leitungsnetz angewendet.
Reviewer: J. Teixidor

MSC:
49Jxx Existence theories in calculus of variations and optimal control
58Jxx Partial differential equations on manifolds; differential operators
Keywords:
topology
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