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Topological methods in the theory of nonlinear integral equations. (Топологические методы в теорий нелинейных интегральных уравнений) (Topologische Methoden in der Theorie der nichtlinearen Integralgleichungen.) (Russian) Zbl 0070.33001
Moderne Probleme der Mathematik. Moskau: Staatsverlag für technisch- theoretische Literatur. 392 S. (1956).
L’auteur rassemble dans ce livre la plupart des recherches d’analyse non-linéaire dans les espaces de Banach, recherches liées surtout à la méthode de Leray-Schauder. Le livre contient six chapitres. Dans le premier chapitre on ’etudie les opérateurs intégraux auxquels on applique les méthodes abstraites dans les chapitres suivants. Le deuxième chapitre contient les notions et les théorèmes fondamentaux: la rotation des champs vectoriels (notion due à l’auteur, equivalente au degré topologique de Leray-Schauder), les théorèmes de Brouwer, Hopf, Leray-Schauder, Lusternik-Schnirelman-Borsuk. — Les notions et les théorèmes de topologie combinatoire utilisées dans cette théorie ne sont que partiellement edifiées. Ensuite (chapitres III et IV) on applique ces methodes aux problèmes plus concrets: l’existence des solutions et des valeurs propres, points de ramification, analyse spectrale non-linéaire (l’auteur définit une resolvente pour les opérateurs non-linéaires), opérateurs asymptotiquement linéaires, théorèmes de Liapounoff. Dans le chapitre V on examine les méthodes de M. G. Krein et M. A. Rutman dans les espaces de Banach ordonnés et le chapitre VI contient les méthodes variationnelles, développées surtout par M. M. Vainberg.
Reviewer: G. Marinescu

MSC:
45-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to integral equations
46-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to functional analysis
45Gxx Nonlinear integral equations
47-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to operator theory