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Unicité des représentations intégrales au moyen de points extrémaux dans les cônes convexes réticulés. (French) Zbl 0071.10701

Gemeinsames Referat zu Zbl 0071.10702 und Zbl 0071.10702.


Aus der Analysis kennt man zahlreiche Beispiele für Kegel von Funktionen, in welchen jedes Element darstellbar ist als Integral nach einem positiven Maß über einen, vom darzustellenden Element unabhängigen, Bereich ausgezeichneter Elemente des Kegels (sog. Extremalelemente). Es sei hier nur erinnert an den Satz von Bernstein-Widder, wonach jede vollständig monotone Funktion \(f\) auf der Halbgeraden \(0\le x < +\infty\) eine Integraldarstellung \(f(x) = \int_0^{+\infty} e^{-xt} \,d\mu(t)\) besitzt, an den Satz von Bochner über die Darstellung der positiv definiten, stetigen Funktionen auf einer lokalkompakten, abelschen Gruppe und an die Darstellung der in einem Gebiet positiven harmonischen Funktionen durch minimale positive harmonische Funktionen (oder, was hiermit gleichbedeutend ist: die Darstellung dieser Funktionen durch ein verallgemeinertes Poissonsches Integral bezüglich einer geeigneten Massenbelegung der Martinschen Berandung dieses Gebietes).
In den vorliegenden drei Noten kündigt Verf. eine Reihe bedeutsamer Resultate an, die Antwort geben auf die seit geraumer Zeit offene Frage nach allgemeinen Sätzen über die Existenz und Eindeutigkeit solcher Integraldarstellungen. Alle drei Noten enthalten konzentrierte Beweisskizzen.
Problemstellung: In einem lokalkonvexen Vektorraum \(E\) sei \(\mathcal C\) ein spitzer konvexer Kegel, der den Nullvektor \(0\) zur Spitze hat und als Element enthält. \(\mathcal C\) definiert in \(E\) in natürlicher Weise eine mit der Vektorraum-Struktur verträgliche (teilweise) Ordnung \(\prec\). Die Spitze von \(\mathcal C\) besitze in \(\mathcal C\) eine kompakte Umgebung; hiermit gleichwertig ist die Existenz einer affinen Mannigfaltigkeit \(A\), die jede Erzeugende von \(\mathcal C\) in einem Punkt \(\ne 0\) trifft und für welche die Basis von \(\mathcal C\) genannte Menge \(\mathcal B = A\cap \mathcal C\) kompakt ist. \(\mathcal B\) ist nach dem Satz von Krein-Milman die konvexe abgeschlossene Hülle der Menge \(\mathcal E\) ihrer Extremalpunkte. Es bezeichne \(\mathcal M\) die Menge aller Radonschen Maße \(\mu \ge 0\) auf \(\mathcal B\) und \(\mathcal M_{\mathcal E}\) die Teilmenge aller von \(\mathcal E\) getragenen Maße, also die Menge aller \(\mu\in\mathcal M\) mit \(\mu(\mathcal B\cap\mathbf C \mathcal E) = 0\). Für jedes \(\mu\in\mathcal M\) ist \(x_\mu = \int x \,d\mu\) ein Element von \(\mathcal C\) und heißt die Resultante von \(\mu\); \(\varphi\) bezeichne die Abbildung \(\mu\to x_\mu\) von \(\mathcal M\) in \(\mathcal C\).
Die beiden Hauptprobleme lauten nun:
1. Wann gilt \(\varphi(\mathcal M_{\mathcal E}) = \mathcal C\) ? (Existenz von Integraldarstellungen.)
2. Wann ist die Verengerung von \(\varphi\) auf \(\mathcal M_{\mathcal E}\) eine umkehrbar eindeutige Abbildung ? (Eindeutigkeit der Integraldarstellung.)
In der ersten Note wird die zweite Frage beantwortet. Zunächst wird bemerkt, daß mit \(\mathcal M_{\mathcal E}\) auch \(\mathcal C\) (aufgefaßt als durch \(\prec\) geordnete Menge) ein Verband ist, falls \(\varphi\) die Menge \(\mathcal M_{\mathcal E}\) eineindeutig auf \(\mathcal C\) abbildet. Als Beantwortung der zweiten Frage erscheint die Umkehrung dieser Aussage: Ist \(\mathcal C\) bezüglich der Relation \(\prec\) ein Verband, so existiert zu jedem \(x\in\mathcal C\) höchstens ein \(\mu\in\mathcal M_{\mathcal E}\) mit \(x = x_\mu\).
Entscheidendes Beweishilfsmittel ist der Prozeß der Stabilisation von Maßen. Verf. nennt ein Maß \(\mu\in\mathcal M\) stabil bezüglich einer kompakten Menge \(K\subset\mathcal B\), wenn jedes zu \(\mu\) äquivalente Maß, d. h. jedes \(\nu\in\mathcal M\) mit \(\varphi(\nu) = \varphi(\mu)\), von \(K\) getragen wird. Es wird gezeigt, daß jedes \(\mu\in\mathcal M\) in geeigneter Weise stabilisiert werden kann. Dies gestattet die Zurückführung der eigentlichen Behauptung im wesentlichen auf die folgende einfachere:
Werden \(\mu_1, \mu_2\in\mathcal M_{\mathcal E}\) von zwei fremden kompakten Teilmengen von getragen, so ist \(\inf (x_{\mu_1}, x_{\mu_2}) = 0\). Die Eigenschaft von \(\mathcal C\), ein Verband zu sein, läßt sich an einem einfachen geometrischen Verhalten seiner Basis \(\mathcal B\) ablesen. \(\mathcal C\) ist dann und nur dann ein Verband, wenn \(\mathcal B\) ein Simplex ist, d. h.: sind \(\mathcal B_1 = a_1 + \lambda_1\mathcal B\) und \(\mathcal B_2 = a_2 + \lambda_2\mathcal B\) \((\lambda_1 \ge 0, \lambda_2\ge 0)\) positiv homothetische Bilder von \(\mathcal B\), so ist auch \(\mathcal B_1\cap\mathcal B_2\) ein positiv homothetisches Bild von \(\mathcal B\) oder die leere Menge.
Der Hauptsatz der Note liefert daher sofort die Aussage, daß ein beliebiger Punkt eines konvexen, kompakten Simplex der Schwerpunkt nur höchstens eines von der Menge der Extremalpunkte getragenen Maßes der Gesamtmasse 1 ist.
Falls die Menge \(\mathcal E\) aller Extremalpunkte der Kegelbasis \(\mathcal E\) selbst kompakt ist, ergibt sich als Anwendung des Hauptsatzes, daß jede stetige, reelle Funktion \(f\vert\mathcal E\) auf genau eine Weise stetig und linear auf \(\mathcal C\), jedoch im allgemeinen nicht auf \(E\) fortgesetzt werden kann.
In der zweiten Note wird die erste der obigen Fragen beantwortet. Das Hauptresultat lautet hier: Wird die Basis \(\mathcal B\) zusätzlich als metrisierbar vorausgesetzt, so ist jeder Punkt \(x\in\mathcal C\) die Resultante mindestens eines Maßes \(\mu\in\mathcal M_{\mathcal E}\).
An Beweismethoden wird hier neben der Stabilisation entscheidend die Diffusion von Maßen benützt. Hierunter versteht Verf. folgendes: Es sei \(X\) ein kompakter und \(Y\) ein lokal kompakter Raum; \(\mathcal M(X)\) bzw. \(\mathcal M(Y)\) bezeichne den Kegel aller positiven Radonschen Maße auf \(X\) bzw. \(Y\). Diffusion von \(\mathcal M(X)\) in \(\mathcal M(Y)\) heißt dann jede Abbildung \(\Psi\) von \(\mathcal M(X)\) in \(\mathcal M(Y)\) mit \(\Psi(a_1\mu_1 + a_2\mu_2) = a1\Psi(\mu_1) + a_2\Psi(\mu_2)\) für beliebige \(\mu_1, \mu_2\in\mathcal M(X)\) und reelle Zahlen \(a_1, a_2 \ge 0\) und mit der weiteren Eigenschaft, daß aus \(\mu = \sum_{n=1}^\infty \mu_n\) stets \(\Psi(\mu) = \sum_{n=1}^\infty \Psi(\mu_n)\) folgt. (Die Reihen werden hierbei als konvergent bezüglich der vagen Topologie vorausgesetzt.)
Der Beweis des Satzes verläuft etwa so: Zu \(x\in\mathcal C\) existiert zunächst ein Maß \(\mu_0\in\mathcal M\), dessen Resultante \(x\) ist. Mittels Diffusion wird \(\mu_0\) durch ein äqui-valentes Maß \(\mu_V\) ersetzt, welches von einer geeigneten Umgebung \(V\) von \(\mathcal E\) getragen wird. Wegen der Metrisierbarkeit von \(\mathcal B\) ist \(\mathcal E\) eine \(G_\delta\)-Menge, also Durchschnitt abzählbar vieler Umgebungen \(V_n\). Das gesuchte Maß \(\mu\in\mathcal M_{\mathcal E}\) mit \(x = x_\mu\), wird durch Grenzübergang aus den \(\mu_{V_n}\) gewonnen, nachdem diese vorher einer Stabilisation unterworfen wurden, welche garantiert, daß der Limes \(\mu\) von \(\mathcal E\) getragen wird.
Der beweistechnische Teil der Note enthält einige für sich interessante Aussagen über Diffusion von Maßen, welche die allgemeine Bedeutung dieses Prozesses für die Maßtheorie und ihre Anwendungen erkennen lassen.
In der dritten Note zeigt Verf. an Hand eines Beispiels, daß die Existenz von Maßen \(\mu\in\mathcal M_{\mathcal E}\) mit vorgegebener Resultante \(x\in\mathcal C\) unwahrscheinlich wird, wenn man der kompakten Basis \(\mathcal B\) keine zusätzliche Bedingung, wie z. B. die der Metrisierbarkeit, auferlegt. Immerhin werden einige Spezialfälle behandelt, in welchen das Hauptresultat der zweiten Note auch ohne die Voraussetzung der Metrikerbarkeit von \(\mathcal B\) richtig bleibt. Dies ist u. a. dann der Fall, wenn \(\mathcal E\) lokal kompakt oder die Menge \(\overline{\mathcal E} \cap \mathbf C\mathcal E\) abzählbar ist.
Den Abschluß bilden Sätze und Bemerkungen für den Fall, daß \(\mathcal C\) ein Verband ist. Jeder solche Kegel (ohne weitere Annahme über seine kompakte Basis \(\mathcal B\)) zerfällt in die direkte Summe zweier erblicher Unterkegel \(\mathcal R\) und \(\mathcal N\), wobei \(\mathcal R = \varphi(\mathcal M_{\mathcal E})\) und \(\mathcal N\) der Kegel aller Elemente \(x\in\mathcal C\) mit folgender Eigenschaft ist: kein Element \(y\ne 0\) aus \(\mathcal C\) mit \(y\prec x\) ist Resultante eines Maßes aus \(\mathcal M_{\mathcal E}\).
Die Hauptsätze der beiden ersten Noten ergeben schließlich noch, daß in einem kompakten, konvexen, metrisierbaren Simplex jeder Punkt der Schwerpunkt genau eines von der Menge der Extremalpunkte getragenen, positiven Maßes der Gesamtmasse 1 ist.
Reviewer: H. Bauer

MSC:

46-XX Functional analysis
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