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Éléments de mathématique. XX. 1er part.: Les structures fondamentales de l’analyse. Livre I: Théorie des ensembles. Chap. III: Ensembles ordonnés. Cardinaux. Nombres entiers. (French) Zbl 0074.27701
Actualités Scientifiques et Industrielles. 1243. Paris: Hermann & Cie 118 p. (1956).
Fortsetzung der Mengenlehre [(1954; Zbl 0055.27902)]; Inhalt im wesentlichen die Elemente der klassischen Kardinalzahlarithmetik einschl. der Arithmetik der natürlichen Zahlen und der Kombinatorik (binomischer Satz etc.), sowie die Theorie der wohlgeordneten Mengen. Der Aufbau praktisch unverändert der seit Cantor, Dedekind und Whitehead-Russel übliche (als kleine Besonderheit werde die Definition der endlichen Kardinalzahlen durch \(\mathfrak a\neq \mathfrak a+1\) erwähnt); Ansätze zur Einbeziehung neuerer Gesichtspunkte finden sich, ganz im Gegensatz zur sonstigen Tendenz der Bourbaki-Schule, kaum. Der Bourbakischen Konzeption vom Aufbau der Mathematik entsprechend [Am. Math. Mon. 57, 221–232 (1950; Zbl 0037.00209)], wonach den in besonderen Büchern (Buch II und III des bisherigen Bourbakischen Gesamtwerkes) abgehandelten algebraischen und topologischen Strukturen als dritte mathematische Fundamentalstruktur die gleichfalls schon im Kontinuum vorhandene Ordnung zur Seite tritt, wird hier zwar mit dem allgemeinen Begriff der Ordnungsrelation begonnen, allein zu einer eigentlichen Ordnungstheorie kommt es, abgesehen von den elementarsten Definitionen (Schranken, Extrema, extremale Elemente usw.), nur ansatzweise. Wie schon früher die Äquivalenzrelationen, so werden auch hier die Ordnungsrelationen intensional, d. h. als Aussageformen \(R(x,y)\) in zwei Buchstaben (Variablen) \(x\) und \(y\) definiert, für die eben gewisse Sätze (Reflexivität usw.) ableitbar sind; es ergibt sich die unbequeme Unterscheidung von (intensionalen) Ordnungsrelationen und ihren (extensionalen) Graphen, zu der es in den anderen Strukturtheorien (Algebra, Topologie) kein übliches Analogon gibt und die sich wohl kaum streng durchhalten lassen wird (siehe schon §1, No. 4).
Als spezielle geordnete Mengen werden die gerichteten Mengen eingeführt; mit ihrer Hilfe wird der mengentheoretische Teil der Konstitution des induktiven und des projektiven Limes erledigt (Definition und Grundeigenschaften dieser Limites für Familien abstrakter Mengen). Weiter werden als spezielle gerichtete Mengen die Verbände aufgezählt. Schon die auch innerhalb der französischen Literatur ungewöhnliche, dem Muster der ,,ensembles ordonnés”, ,,ensembles filtrants” nachgebildete Bezeichnung ,,ensembles réticulés” scheint auf eine einseitige Betonung des rein ordnungstheoretischen vor dem algebraischen Aspekt des Verbandsbegriffes schließen zu lassen; unterstrichen wird dies nachdrücklich durch den Verzicht auf die heute allgemein eingebürgerte Symbolik für die verbandstheoretischen Operationen, wodurch denn ein verbandstheoretischer Kalkül, wie er sich heute in vielen Teilen der Mathematik längst unentbehrlich gemacht hat, von vornherein verhindert wird. So bekommen beispielsweise die verbandstheoretischen Distributivgesetze die wenig suggestive, das Rechnen gewiß erschwerende Gestalt (p. 32 u.): \(\sup (x,\inf(y,z)) =\inf (\sup(x,y), \sup(x,z))\) und dual. Bloß aufgezählt werden an speziellen Verbänden noch die total geordneten, eine wirkliche Theorie wird erst aufgebaut für die wohlgeordneten Mengen. Dabei hätte es bei der (dem Gesamtunternehmen durchaus entsprechenden) Allgemeinheit des begrifflichen Ansatzes vielleicht nahe gelegen, nun auch die angestrebten Theoreme der klassischen Wohlordnungstheorie in einen entsprechend allgemeinen ordnungstheoretischen Rahmen zu stellen. Beispielshalber ist für das Beweisverfahren der sog. transfiniten Induktion wie das entsprechende rekursive Definitionsverfahren die Totalordnung völlig entbehrlich, man benötigt von der Wohlordnung nur die Minimalbedingung (diese Verfahren werden übrigens hier mehr als metamathematische Prinzipien denn als mathematische Theoreme formuliert).
Auffallend ist die untergeordnete Stellung des als ,,Zornsches Lemma” bekannten ordnungstheoretischen Extremalprinzips, für dessen Anwendung Bourbaki in Algebra und Topologie so glänzende Beispiele geliefert hat. Zwar wird dieses Prinzip hier als Folge des Wohlordnungssatzes (nicht umgekehrt!) aufgeführt, allein benutzt wird es hier nicht, und so bleibt es denn bei der klassischen Anordnung der Mengenlehre mit dem Wohlordnungssatz als Mittelpunkt, obwohl es seit M. Zorn [Univ. California Publ. Math., n. Ser. 2 (No. 1, Semin. Rep. in Math. (Los Angeles)), 9–12 (1944; Zbl 0060.12708)] u. a. durchaus möglich ist, die auf dem Auswahlaxiom beruhenden Hauptsätze der Kardinalzahltheorie nicht mehr auf dem Umwege über die Wohlordnung, sondern mittels des Zornschen Lemmas ,,direkt” zu beweisen. Der Bernsteinsche Äquivalenzsatz wird hier lediglich als Korollar zur Wohlordnung der Mächtigkeiten hingestellt und damit auf das durch Verwendung des universellen Auswahloperators \(\tau\) getarnte Auswahlaxiom zurückgeführt, dem einfachen konstruktiven Beweis von Banach zum Trotz.
Zu dem Gegensatz zwischen der Allgemeinheit des begrifflichen Ansatzes und dem Festhalten am klassischen Aufbau ist schließlich die Behandlung der verschiedenen Produktbildungen zu rechnen: in §1 wird das direkte, in §2 das (auf wohlgeordneten Indexbereich beschränkte) lexikographische Produkt beliebig geordneter, in §3 das direkte Produkt abstrakter (= spezieller geordneter, nämlich total ungeordneter) Mengen eingeführt, aber von einer Unterordnung dieser drei Operationen unter den seit den Arbeiten von Birkhoff u. a. vorhandenen ordnungstheoretischen Oberbegriff ist hier keine Rede.
Ein wesentlicher Teil der klassischen Stoffmasse (höhere Kardinalzahltheorie, die gesamte Ordinalzahltheorie einschl. der Definition der Ordinalzahlen) findet sich in den Übungen, deren Umfang hier auf genau ein (eng bedrucktes) Drittel der Textseiten angeschwollen ist.
Reviewer: Jürgen Schmidt

MSC:
03Exx Set theory
03-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to mathematical logic and foundations
03E04 Ordered sets and their cofinalities; pcf theory
03E10 Ordinal and cardinal numbers