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Topological projective planes. (Topologische projektive Ebenen.) (German) Zbl 0078.34103
Eine lokalkompakte projektive Ebene besitzt eine abzählbare Basis. Sie braucht nicht kompakt zu sein (im Widerspruch zu einer Behauptung von L. A. Skornyakov [Tr. Mosk. Mat. Ob.-va 3, 347–373 (1954; Zbl 0057.36201)]). Sie ist es, sobald man noch Zusammenhang voraussetzt. Dasselbe gilt, wenn die Topologie auf Anordnung beruht; die Anordnung ist dann von selber archimedisch. Auch mit Inzidenzsätzen kann man die Kompaktheit lokalkompakter projektiver Ebenen erzwingen, z. B. wenn man die Existenz eines Punktes \(p\) und einer nicht inzidenten Geraden \(G\) mit einer Kollineationsschar fordert, die \(p\) und \(G\) punktweise festläßt und übrigens auf jeder Geraden durch \(p\) transitiv ist.
Ist der additive Loop eines Ternärkorpers der lokalkompakten projektiven Ebene eine kommutative Gruppe, so ist er direkte Summe von \(n\) Additionsgruppen der reellen Zahlen. Die projektiven Geraden einer zur reellen projektiven Ebene homöomorphen projektiven Ebene sind topologisch Kreise.
Eine zur reellen Ebene homöomorphe Translationsebene ist zu ihr isomorph.
Zu jedem topologischen Alternativkörper gibt es genau eine projektive Ebene.

MSC:
51H05 General theory of topological geometry
51E15 Finite affine and projective planes (geometric aspects)
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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Alexandroff-Hopf: [1935] Topologie. Berlin. · JFM 61.0602.07
[2] N. Bourbaki: [1947] Topologie générale V. Paris. [1951] Topologie générale I, 2. Aufl. Paris.
[3] P. Erdös: [1940] The dimension of the rational points in Hilbert space. Ann. of Math.41, 734-736; MRev.2, 178; Zbl.25, 187. · JFM 66.0537.01
[4] H. Freudenthal: [1957] Kompakte projektive Ebenen. Illinois J. of Math.1, 9-13. · Zbl 0077.33809
[5] Hurewicz-Wallmann: [1948] Dimension theory. Princeton. · Zbl 0036.12501
[6] C. Kuratowski: [1952] Topologie II, 2. Aufl. Warschau. · Zbl 0049.39704
[7] F. R. Moulton: [1902] A simple non-desargian plane geometry. Trans. Amer. Math. Soc.3, 192-195; FdM33, 497. · JFM 33.0497.04
[8] L. J. Paige: [1950] Neo fields. Duke Math. J.16, 39-60; Zbl.40, 305. · Zbl 0040.30501
[9] G. Pickert: [1950] Projektive Ebenen. Berlin-Göttingen-Heidelberg. [1956] Projektive Ebenen über Neokörpern. Wiss. Z. Univ. Jena1955/56, 131-135.
[10] L. Pontrjagin: [1946] Topological groups. Princeton. · JFM 62.0443.02
[11] H. Salzmann: [1955] Über den Zusammenhang in topologischen projektiven Ebenen. Math. Z.61, 489-494; Zbl.64, 178. · Zbl 0064.17802
[12] L. A. Skornjakov: [1954] Topologische projektive Ebenen. [Russ.] Trudy Moskov. Mat. Ob??.3, 347-373; MRev.16, 60. · Zbl 0057.36201
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