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Die transfiniten Operationen der Ordnungstheorie. (German) Zbl 0088.26102


MSC:

03Exx Set theory

Keywords:

set theory
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References:

[1] Zu ihrer Stellung innerhalb der Mathematik sieheN. Bourbaki, The architecture of mathematics, Amer. Math. Monthly57, 221-232 (1950). · Zbl 0037.00209
[2] Birkhoff, G.: Lattice Theory, 2. Aufl. New York 1948, p. 53, L*. Diese Birkhoffsche Formulierung des Assoziativgesetzes setzt übrigens, wie die folgenden Ausführungen zeigen, außer der unbeschränkten Ausführbarkeit auch noch die spezifischen Eigenarten der Ordnungsoperationen, insbesondere die Idempotenz, voraus und läßt sich daher auf transfinite Operationen außerhalb der Ordnungstheorie (siehe z. B. Fußnote 4) nicht ohne weiteres übertragen.
[3] Wie üblich deutet das Untereinanderschreiben mehrerer Aussagen auf deren logische Konjunktion hin. Beim Vergleich mit (A0) wird übrigens deutlich, daß man, genau genommen, die ?Summationsargumente? ? hieri undk, bei (A0) nurk ? irgendwie besonders zu markieren hätte; im allgemeinen wird man jedoch, ohne Verwechslungen befürchten zu müssen, auch ohne solche Markierungen auskommen.
[4] Beispiel einer transfiniten Operation, bei der man unter der Voraussetzung (A0) nur von (A2) auf (A1), jedoch nicht in umgekehrter Richtung schließen kann: die transfinite Reihensummation in topologischen abelschen Gruppen; sieheN. Bourbaki, Groupes topologiques, Actual. Sci. Industr.916-1143 (1951), p. 35 u. p. 38ff. Man könnte diese Hälfte unserer Assoziativität auch als ?Dissoziativität? bezeichnen (Einführung von Klammern, d. h. Einteilung in elementfremde Klassen, erlaubt), die entgegengesetzte Richtung als eigentliche ?Assoziativität? (Beseitigung von Klammern erlaubt).
[5] Hermes, H.: Einführung in die Verbandstheorie, Berlin 1955, p. 27, Satz 6.1. · Zbl 0064.02901
[6] Birkhoff, G.: loc. cit. p. 53, Theorem 7, kennzeichnet die vollständigen Verbände weit unbequemer mittels zweier Operationen, der Supremum-und der Infimumoperation.
[7] Ja man kann hier auch ohne weiteres die Assoziativität in Form einer einzigen Funktionalgleichung anschreiben; sieheBirkhoff loc. cit., auchBourbaki loc. cit. p. 40 Formel (1).
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