Trigonometric series with gaps. (English) Zbl 0091.05802

Rudin, Walter

J. Math. Mech. 9, 203-227 (1960).

Es sei \(E\) eine nicht-leere Menge ganzer Zahlen. Eine Funktion \(f\in L_1 (-\pi,\pi)\) (trigonometrisches Polynom) heiße \(E\)-Funktion [\(E\)-Polynom], wenn die Fourierkoeffizienten \[ \hat{f}(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \exp (int) dt \] für \(n\notin E\) null sind. Die Menge \(E\) heiße Sidonsch, wenn es eine Konstante \(B\) gibt, für welche \[ \sum_{-\infty}^{\infty}| \hat{f}(n)| \leq B\| f\|_{\infty} \] für alle \(E\)-Polynome \(f\). Wir bezeichnen den Raum aller \(E\)-Funktionen in \(L_p (-\pi,\pi)\) \((0 < p<\infty)\) als \(L_{p,E}\). Für \(0 < s <\infty\) heißt eine Menge \(E\) vom Typus \(\Lambda(s)\), wenn es ein \(r\) (\(0 < r < s\)), gibt, so daß \(L_{r,E}=L_{s,E}\). Eine Reihe von Sätzen über \(E\)-Funktionen werden gegeben. Folgende sind typisch.
(A) Die Menge \(E\) ist Sidonsch, wenn es eine Konstante \(\delta > 0\) mit folgender Eigenschaft gibt: Für jede Funktion \(b\) auf \(E\), \(b(n)= 1\), gibt es ein Maß \(\mu\) auf \([-\pi, \pi]\) mit \(\hat{\mu}(n)-b (n) < 1-\delta\) für alle \(n\in E\).
(B) Jede Sidonsche Menge ist vomTypus \(\Lambda(s)\) für alle \(s > 0\). In der Tat, ist \(f\) ein \(E\)-Polynom, dann gilt \(\| f\|_s\leq B\sqrt{s}\| f\|_2\), \( 2 < s <\infty\), \(\| f\|_2\leq B\| f\|_1\), wobei \(B\) die Konstante in der Deinition einer Sidonschen Menge ist.
Verschiedene Eigenschaften von \(\Lambda (s)\)-Mengen werden untersucht und einige frühere Resultate werden wiedergeben. Siehe z.B. H. S. Zuckerman und der Referent [Trans. Am. Math. Soc. 93, 1–19 (1959; Zbl 0141.12601)].

Reviewer: Edwin Hewitt

MSC:

42A20	Convergence and absolute convergence of Fourier and trigonometric series
42A24	Summability and absolute summability of Fourier and trigonometric series

Keywords:

approximation and series expansion

Citations:

Zbl 0141.12601