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Construction and application of a class of modular functions. (English) Zbl 0097.28701

Verf. betrachtet für \((n,6)=1\) die Funktionen \(g(\tau)=\prod_{\delta\mid n} \varphi_\delta^{r_\delta}\). Dabei ist \(\varphi_\delta (\tau)=\eta(\delta\tau)/\eta(\tau)\) und für die ganzen Zahlen \(r_\delta\) ist \(\prod_{\delta\mid n} (\delta-1)r_\delta\) ganz und \(\prod_{\delta\mid n} \delta^{r_\delta}\) ein Quadrat. Diese Funktionen sind Modulfunktionen zu \(\Gamma_0(n)\) und sie bilden eine abelsche Gruppe \(G_n\). Sei \(F_n\) die Menge der Modulfunktionen zu \(\Gamma_0(n)\), die regulär sind für \(\text{Im}\,\tau>0\) und meromorph in den parabolischen Spitzen. Es wird gezeigt, daß es eine Zahl \(\mu\) gibt, so daß fur jedes \(f\in F_n\), das für \(\text{Im}\,\tau>0\) keine Nullstellen hat, gilt: \(f^\mu=c\cdot g\), wo \(c\) eine Konstante und \(g\in G_n\) ist.
Sei \(H_n\) die Teilmenge der Funktionen von \(G_n\), die nur in \(\tau=i\infty\) negative Ordnung haben und \(E_n\) die Teilmenge der Funktionen von \(F_n\), die nur in \(\tau=i\infty\) negative Ordnung haben. Es ist jetzt interessant, eine Polynombasis von \(F_n\), d.h. eine endliche Anzahl Funktionen \(f_i\in F_n\) so zu finden, daß jedes \(f\in F_n\) ein Polynom in den \(f_i\) ist. Ist \(\nu\) das Geschlecht von \(\Gamma_0(n)\), so besteht eine Polynombasis von \(F_n\) aus \(\nu+1\) Funktionen \(B_k\), die in \(\tau=i\infty\) die Ordnung \(-k\) haben \((k=\nu+1,\nu+2,\ldots,2\nu+1)\). Es wird vermutet, daß man für diese Basisfunktionen lineare Kombinationen von Funktionen aus \(H_n\) wählen kann, falls \(n\) nicht eine Primzahl ist. Die Rechnungen sind auf der SEAC durchgeführt für \(n=35\). In diesem Falle ist \(\nu=3\). Die vier Basisfunktionen sind lineare Kombinationen von neun Funktionen aus \(H_{35}\).

MSC:

11F03 Modular and automorphic functions
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