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Proalgebraic groups. (Groupes proalgébriques.) (French) Zbl 0097.35901

Es gibt eine Reihe von Situationen, in denen projektive Systeme von kommutativen algebraischen Gruppen auftreten. Zum Beispiel: (1) die zusammenhängenden Gruppen, die Überlagerungen einer festen Gruppe \(G\) sind; (2) die verallgemeinerten Jacobischen Mannigfaltigkeiten \(J_{\mathfrak m}\), die zu einer algebraischen Kurve \(X\) gehören; (3) die Gruppen \(U/U^n\), wobei \(U\) die Einheitengruppe eines bewerteten kompletten Körpers mit algebraisch abgeschlossenem Restklassenkörper bezeichnet.
Man kann natürlich jede Gruppe des Systems einzeln untersuchen; dieser Standpunkt wurde im Falle (2) vom Verf. im vorstehend besprochenen Buch [Zbl 0097.35604] über Klassenkörpertheorie eingenommen. Aber es ist sehr viel bequemer, zum projektiven Limes überzugehen; dann werden die Resultate im allgemeinen einfacher und durchsichtiger. Im Falle (1) handelt es sich im Limes um die sogenannte universelle Überlagerung von G (hierzu siehe weiter unten). Im Falle (2) handelt es sich im Limes um die Gruppe der Idelklassen vom Grade \(0\) von \(X\). Im Falle (3) ist der Limes nichts anderes als die Einheitengruppe \(U\) selbst.
Verf. stellt sich in diesem Buch die Aufgabe, den Grenzübergang zu formalisieren und so eine allgemeine Theorie der projektiven Limiten algebraischer Gruppen zu entwickeln. Auf Anwendungen wird hier im allgemeinen nicht eingegangen; für den Fall (3) verweist der Verf. auf eine inzwischen erschienene Arbeit über lokale Klassenkörpertheorie [Bull. Soc. Math. Fr. 89, 105–154 (1961)].
Eine erste Schwierigkeit in der Durchführung dieses Ansatzes besteht darin, daß die algebraischen kommutativen Gruppen keine Abelsche Kategorie bilden, jedenfalls nicht bei Charakteristik \(> 0\). Das liegt an der Existenz rein inseparabler Isogenien. Verf. umgeht diese Schwierigkeit dadurch, daß er inseparabel-isogene algebraische Gruppen identifiziert. Er erhält so eine Abelsche Kategorie \(\mathcal Q\), deren Objeke er „quasi“-algebraische Gruppen nennt. Bei dieser Identifikation verschwinden natürlich die auf der Inseparabilität beruhenden Phänomene. Da sich jedoch der Verf. hier nur für separable Isogenien interessiert, ist dies ohne Belang. Die proalgebraischen Gruppen werden nun definiert als die projektiven Limiten von quasialgebraischen Gruppen. (Sie müßten daher eigentlich proquasi-algebraisch genannt werden.) Es zeigt sich, daß diese Gruppen eine Abelsche Kategorie \(\mathbf P\) bilden, in der der Funktor „Projektiver Limes“ existiert und exakt ist. Ferner zeigt sich, daß diese Kategorie \(\mathbf P\) hinreichend viele projektive Objekte im Sinne von Grothendieck enthält [Tôhoku math. J., II. Ser. 9, 119–122 (1957)]. Daher ist es möglich, auf \(\mathbf P\) die allgemeinen Methoden der homologischen Algebra anzuwenden. Insbesondere ist es möglich, zu einem auf \(\mathbf P\) definierten Funktor die sogenannten links-abgeleiteten Funktoren zu bilden.
Dieses Verfahren wird. angewendet auf den Funktor \(\pi_0(G) = \) maximale \(0\)-dimensionale Faktorgruppe von \(G\). Dabei wird eine proalgebraische Gruppe \(0\)-dimensional genannt, wenn sie als projektiver Limes von endlichen Gruppen dargestellt werden kann. Der Kern \(G^0\) der natürlichen Abbildung \(G\to \pi_0(G)\) wird als die Zusammenhangskomponente von \(G\) bezeichnet. Stellt man \(G\) als Limes von (quasi-)algebraischen Gruppen \(G_j\) dar, so ist \(G^0\) der Limes der Zusammenhangskomponenten \(G_j^0\) der approximierenden Gruppen \(G_j\). Der Funktor \(\pi_0\) ist rechts-exakt im Sinne der homologischen Algebra. Seine abgeleiteten Funktoren werden mit \(\pi_i(G)\) bezeichnet \((i\ge 1)\); sie heißen die „Homotopiegruppen“ von \(G\). Insbesondere wird \(\pi_1(G)\) die „Fundamentalgruppe“ von \(G\) genannt.
Das Hauptresultat des vorliegenden Buches besagt, daß die höheren Homotopiegruppen \(\pi_i(G)\) verschwinden (für \(i\ge 2)\), oder, was dasselbe besagt, daß \(\pi_1\) ein links-exakter Funktor ist. Der Beweis ist keineswegs trivial und beruht auf einer eingehenden Strukturuntersuchung der proalgebraischen Gruppen.
Zunächst wird gezeigt, daß die Funktoren \(\pi_i\) mit der Bildung projektiver Limiten vertauschbar sind; daher genügt es, das Verschwinden der höheren \(\pi_i(G)\) für algebraische Gruppen \(G\) zu beweisen. Nach Zerlegung von \(G\) in eine Kompositionsreihe darf weiter angenommen werden, daß \(G\) einem der vier folgenden, sogenannten elementaren Typen angehört:
(I) die zyklischen Gruppen \(Z/lZ\) von Primzahlordnung \(l\);
(II) die multiplikative Gruppe \(G_m\) des Grundkörpers;
(III) die additive Gruppe \(G_a\) des Grundkörpers;
(IV) die einfachen abelschen Mannigfaltigkeiten im Sinne der algebraischen Geometrie.
Der Beweis wird nun für jeden dieser elementaren Typen gesondert geführt. Um den Beweisgang zu beschreiben und auch die weiteren Resultate des Verf. zu referieren, benötigen wir die folgenden Begriffsbildungen.
(a) Die projektive Hülle einer pro-algebraischen Gruppe \(G\) ist definiert als die minimale im Sinne der homologischen Algebra projektive, proalgebraische Gruppe \(X\), welche \(G\) als Faktorgruppe besitzt. Sie ist im wesentlichen durch \(G\) eindeutig bestimmt.
(b) Eine proalgebraische Gruppe heißt einfach zusammenhängend, wenn \(\pi_1(G)=0\). Die einfach zusammenhängenden und gleichzeitig zusammenhängenden proalgebraischen Gruppen \(G\) bilden eine Unterkategorie \(\mathbf SP\) von \(\mathbf P\). Sie können dadurch gekennzeichnet werden, daß \(\operatorname{Hom}(G, N) = \mathrm{Ext}^1(G, N) = 0\) für jede endliche Gruppe \(N\).
(c) Die universelle Überlagerung \(\overline G\) einer proalgebraischen Gruppe \(G\) ist definiert als zusammenhängende und einfach zusammenhängende proalgebraische Gruppe mit der folgenden exakten Sequenz: \[ 0\longrightarrow \pi_1(G)\longrightarrow \overline G\longrightarrow G\longrightarrow \pi_0(G) \longrightarrow 0. \] Der Beweis des Hauptsatzes kann nun für die elementaren Typen (I)–(IV) folgendermaßen beschrieben werden:
(I) Die projektive Hülle von \(Z/lZ\) ist gleich der Gruppe \(Z_l\) der ganzen \(kl\)-adischen Zahlen. Eine projektive Auflösung von \(Z/lZ\) wird durch die exakte Sequenz \[ 0\longrightarrow Z_l\longrightarrow Z_l\longrightarrow Z/lZ \longrightarrow 0 \] gegeben. Diese besitzt die Länge 1, und daher ist \(\pi_i(Z/lZ) = 0\) für \(i\ge 2\). Übrigens sieht man unmittelbar, daß dies auch für \(i = 1\) gilt. Hieraus folgt weiter das Verschwinden der \(\pi_i\) für \(i\ge 1\) auf der durch die Gruppen \(Z/lZ\) „erzeugten“ Kategorie \(\mathbf P_0\) der \(0\)-dimensionalen Gruppen.
(II) Die projektive Hülle von \(G_m\), ist gleich der universellen Überlagerung \(\overline G_m\). Man erhält diese als den Limes der separablen Isogenien über \(G_m\). Diese Isogenien besitzen bekanntlich die Form \(G_m \longrightarrow G_m\), (Potenzierung mit \(n)\), wobei \(n\) nicht durch die Charakteristik \(p\) des Grundkörpers teilbar ist. Es ergibt sich, daß \(\pi_1(G_m) = \overline G_m/G_m = \prod_{l\ne p} Z_l\). Insbesondere ist \(\pi_1(G_m)\) projektiv. Daher wird durch \[ 0\longrightarrow \pi_1(G_m)\longrightarrow \overline G_m\longrightarrow G_m \longrightarrow 0 \] eine projektive Auflösung von \(G_m\) gegeben. Also: \(\pi_i(G_m) = 0\) für \(i\ge 2\).
(III) Ist die Charakteristik \(0\), so erhält man durch Multiplikation mit einer natürlichen Zahl \(n\) stets einen Automorphismus von \(G_a\), also auch von \(\pi_i(G_a)\). Mithin ist \(\pi_i(G_a)\) durch jedes \(n\) teilbar. Andererseits handelt es sich um eine nulldimensionale Gruppe. Folglich: \(\pi_i(G_a)= 0\) für \(i\ge 0\). Insbesondere ist \(\overline G_a = 0\). Übrigens ist \(G_a\) projektiv, stimmt also mit seiner projektiven Hülle überein.
Nun sei die Charakteristik \(p > 0\). Hier sind die Verhältnisse ungleich komplizierter. Zunächst ist die projektive Hülle von \(G_a\) gleich der universellen Überlagerung \(\overline W\) der Gruppe \(W\) der Wittschen Vektoren über dem Grundkörper \(k\). Die Gruppe \(\overline W/W = \pi_1(W)\) ist eine torsionsfreie, \(0\)-dimensionale \(p\)-Gruppe, die eindeutig bestimmt ist durch die Relation: \[ \pi_1(W)/p \pi_1( W) = \pi_1(G_a) = \operatorname{Hom} (k, Z/pZ). \] Insbesondere ist \(\pi_1( W)\) projektiv. Daher ist \[ 0\longrightarrow \pi_1(W)\longrightarrow \overline W\longrightarrow W \longrightarrow 0. \] eine projektive Auflösung von \(W\), also: \(\pi_i(W) = 0\) für \(i\ge 2\). Man betrachte nun die exakte Sequenz \[ 0 \longrightarrow W\longrightarrow W\longrightarrow G_a\longrightarrow 0 \] und die hierdurch definierte exakte Homotopiesequenz. Diese zeigt, daß auch \(\pi_i(G_a)= 0\) für \(i\ge 2\), wobei man im Falle \(i = 2\) noch die Tatsache benutzen muß, daß \(\pi_1( W)\) torsionsfrei ist.
(IV) Es sei \(A\) eine Abelsche Mannigfaltigkeit der Dimension \(r\). Es gilt \[ \pi_1(A) = \overline A/A = \prod_{l\ne p}(Z_l)^{2r}\times (Z_p)^s\quad\text{mit }0\le s\le r. \] Insbesondere ist \(\pi_1(A)\) projektiv. Dagegen ist \(\overline A\) im allgemeinen nicht projektiv. Sei daher \(X\) die projektive Hülle von \(\overline A\). Es zeigt sich, daß \(X\) auch die projektive Hülle von \(A\) ist. Der Kern \(S\) der natürlichen Abbildung \(X\to A\) ist eine Erweiterung der projektiven Gruppe \(\pi_1(A)\), besitzt also die Form \(S = R\times \pi_1(A)\), wobei \(R\) der Kern der natürlichen Abbildung \(X\to\overline A\) ist. Es zeigt sich, daß \(R\) ebenfalls projektiv ist, und daher ist \(0\to S\to X\to A\to 0\) eine projektive Auflösung der Länge \(1\) von \(A\). Insbesondere ist \(\pi_i(A)\) gleich \(0\) für \(i\ge 2\).
[Bemerkung: die Gruppe \(R\) ist zusammenhängend; sie ist direktes Produkt einer Gruppe \(T\) vom multiplikativen Typus (d. h. \(T\) gehört der durch \(G_m\) „erzeugten“ Kategorie an) und einer unipotenten Gruppe \(U\). Hierbei ist \(T\) dadurch bestimmt, daß die Charaktergruppe \(\operatorname{Hom}(T, G_m)\) isomorph ist zu \(A^*/A^*_j\), wobei \(A^*\) die zu \(A\) gehörige Picardsche Mannigfaltigkeit ist, und wobei \(A^*_j\) die Gruppe der Elemente endlicher Ordnung von \(A^*\) bedeutet. Die Gruppe \(U\) ist im Falle der Charakteristik \(0\) ein \(r\)-dimensionaler Vektorraum über dem Grundkörper; im Falle der Charakteristik \(p > 0\) ist \(U\) gleich \(0\).]
Die vorstehend beschriebenen Ergebnisse zeigen nicht nur, daß die höheren Homotopiegruppen verschwinden, sondern auch, daß jede proalgebraische Gruppe eine projektive Auflösung der Länge \(\le 2\) besitzt; im Falle der Charakteristik \(0\) sogar \(\le 1\). Ferner gestatten sie, die projektiven Objekte der Kategorie \(\mathbf P\) genau anzugeben:
Nach einem Satz von Gabriel läßt sich jedes projektive Objekt wesentlich eindeutig als direktes Produkt von direkt unzerlegbaren projektiven Objekten darstellen. Es zeigt sich nun, daß die direkt unzerlegbaren projektiven Objekte gerade die projektiven Hüllen der oben genannten elementaren Gruppen I bis IV sind.
Die Arbeit enthält noch eine Reihe von anderen interessanten Resultaten allgemeiner Natur. Unter anderem findet man einen Vergleich der Funktoren \(\operatorname{Hom}\) und \(\mathrm{Ext}\) auf der Kategorie der algebraischen Gruppen und der Kategorie \(\mathbf P\) der proalgebraischen Gruppen.
Schließlich sei noch das folgende Resultat erwähnt, das sich unmittelbar aus dem Verschwinden der höheren Homotopiegruppen ergibt: der Funktor „Universelle Überlagerung“ ist exakt auf der Kategorie \(\mathbf P\).

MSC:

14-XX Algebraic geometry

Citations:

Zbl 0097.35604
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Full Text: Numdam EuDML