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About a transformation of the differential equation concerning dynamics. (Sur une transformation des équations différentielles de la dynamique.) (French) JFM 01.0321.05
(Referate auch für JFM 01.0321.01, JFM 01.0321.02, JFM 01.0321.03, JFM 01.0321.04)
1) Beweis des Satzes: In einem freien System von \(n+1\) Körpern, welche allein ihrer gegenseitigen Anziehung unterliegen, giebt es \(n+1\) ,,kanonische” Punkte, deren jeder für die Bewegung von je \(n\) Körpern des Systems dieselbe Eigenschaft besitzt, wie der Schwerpunkt aller für das ganze System, dass nämlich bezogen auf einen solchen Punkt als Anfangspunkt die Bewegungsgleichungen die kanonische Form \(\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{\partial U}{\partial x}\), etc. beibehalten. Die invariablen Ebenen der einzelnen Partialsysteme sind alle der entsprechenden Ebene des Gesammtsystems parallel; zu gleicher Zeit nehmen die ersten Ableitungen von den veränderlichen Elementen der einzelnen Bahnellipsen eine einfache Gestalt an.
2) Wenn man bei der Jakobi’schen Substitution zur Reduction des Dreikörper-Problems über die Coefficienten in geeigneter Weise verfügt, so kann man die Bewegung des Systems Sonne-Erde-Mond zurückführen auf die Bewegung einer fingirten Sonne und des Systems Erde-Mond um den Schwerpunkt der beiden letzteren. Den Bewegungsgleichungen lässt sich dann die Hamilton’sche Form geben, wenn man folgende Veränderliche statt der Coordinaten einführt: die Radiusvectoren und ihre Abstände vom Knoten, die Flächengeschwindigkeiten und die Projectionen der Lineargeschwindigkeiten auf den zugehörigen Radiusvector. Aus den acht auf diese Weise entwickelten Gleichungen ist dann die invariable Ebene völlig verschwunden. – Die sechs Coefficienten der Jakobi’schen Substitution sind, wenn man die fingirten Massen als gegeben ansieht, fünf Bedingungsgleichungen unterworfen; Herr R. giebt ihre Ausdrücke in expliciter Form als Functionen eines willkürlichen Parameters, welcher hier als Hülfswinkel auftritt.
3) Die kanonische Form der Bewegungsgleichungen eines freien Systems von \(n+1\) Körpern (\(m_{i}, x_{i}y_{i}z_{i}\)) bleibt erhalten, wenn man durch eine orthogonale Substitution \((n+1)^{\text{ter}}\) Ordnung von den Grössen \(x_{i}\surd m_{i}, y_{i}\surd m_{i}, z_{i}\surd m_{i}\) übergeht zu \(\xi_{i}\surd \mu_{i}, \eta_{i}\surd \mu_{i}, \zeta_{i}\surd \mu_{i}.\) Nimmt man für \(\mu_{0}(\xi_{0}\eta_{0}\zeta_{0})\) die Masse und den Schwerpunkt des ursprünglichen Systems, so erhält man ein System von nur \(n\) Körpern. Die hier noch auszuführende orthogonale Substitution lässt sich zusammensetzen aus einer speciellen und einer allgemeinen Substitution \(n^{ter}\) Ordnung. Von solchen speciellen Umformungen werden zwei interessante Beispiele angeführt; das eine beruht auf der successiven Kombination des ersten Körpers mit dem zweiten, des Schwerpunktes beider mit dem dritten etc., das andere auf dem Satze von den kanonischen Punkten. Zum Schluss wird dann aus dem in 2) aufgestellten System kanonischer Veränderlichen durch eine einfache Betrachtung dasjenige abgeleitet, welches Edmond Bour gefunden hat und bei dem man nur die Bewegung der drei Körper in ihrer gemeinschaftlichen Ebene zu untersuchen hat.
4) Sylvester hat schon angegeben, dass man aus dem Problem der drei Körper den Knoten ihrer gemeinsamen Ebene in Bezug auf die invariable Ebene eliminiren könne, ohne die Jakobische Substitution zu benutzen, jedoch die Methode dafür nicht angegeben. Das hier gelehrte Verfahren beruht auf Folgendem. Man nehme die den drei Körpern gemeinsame Ebene als \(xy\)-Ebene, den Knoten derselben als Abscissenaxe, dann kommt in dem Ausdrucke für die lebendige Kraft die Knotenläge selbst nicht vor, sondern nur ihre erste Ableitung, welche sich durch die von den drei Körpern und ihrem Schwerpunkte gebildeten Dreiecksflächen ausdrücken lässt. Ferner verschwindet die partielle Ableitung der lebendigen Kraft genommen nach der Neigung. Wenn man dann mit Hülfe der Gleichungen für den Schwerpunkt die eine Masse eliminirt, so erhält man acht kanonische Differentialgleichungen, aus denen der Knoten verschwunden ist. Die Länge desselben findet sich nachher durch eine Quadratur.
5) Die in den C. R. enthaltenen Artikel 1) bis 4) enthalten fast gar keine Entwickelungen, sondern nur kurze Mittheilungen der Resultate. Die Abhandlung 5) dagegen giebt eine zusammenhängende und sehr ausführliche Entwickelung des Inhalts von 1) bis 4).

MSC:
70F07 Three-body problems
70F10 \(n\)-body problems
70F15 Celestial mechanics
70H05 Hamilton’s equations
70M20 Orbital mechanics
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