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On the Hasse-Witt matrix of an algebraic curve. (Über die Hasse-Wittsche Matrix einer algebraischen Kurve.) (Russian) Zbl 0102.27802
Es sei \(k\) ein Körper von Primzahlcharakteristik \(p\), \(\Gamma\) eine vollständige, singularitätenfreie algebraische Kurve über \(k\) mit dem Funktionenkörper \(R_k\) vom Geschlecht \(g\neq 0\), und es gebe auf \(\Gamma\) \(k\)-rationale Punkte \(P_1, \ldots, P_q\), so daß der Divisor \(\sum_{i=1}^q P_i\) nicht spezial ist. \(\mathfrak K\) sei der Raum der Repartitionen von \(R_k\), \(\mathfrak K(0)\) der Unterraum der ganzen Repartitionen. Dann bilden die Repartitionen \(r_i\) mit \((r_i)_{P_i} = 1/t_i\), \((r_i)_P = 0\) für \(P\neq P_i\), \(i = 1, \ldots, g\) und \(t_i\) uniformisierender Parameter für \(P_i\), eine \(k\)-Basis des \(k\)-Vektorraumes \(\mathfrak K/(\mathfrak K(0) + R_k)\). Es gibt also Elemente \(a_{ij}\in k\) mit \(r_i^p\equiv a_{ij}\cdot r_j \bmod (\mathfrak K(0) + R_k)\). Die \((g, g)\)-Matrix \(A = (a_{ij})\) heißt die Hasse-Wittsche Matrix von \(\Gamma\). Ihr Zusammenhang mit den zyklischen, unverzweigten Erweiterungen von \(R_k\) vom Grad \(p\) wurde von H. Hasse and E. Witt [Monatsh. Math. Phys. 43, 477–492 (1936; Zbl 0013.34102)] untersucht. Verf. zeigt als Verallgemeinerungen bekannter Resultate für elliptische Funktionenkörper zwei Theoreme:
Theorem 1: Es sei \(q= p^a\), die Elementezahl von \(k\), endlich und es bezeichne \(A^{(m)}\) die Matrix, die aus \(A\) entsteht, indem man alle Elemente durch ihre \(m\)-ten Potenzen ersetzt, und \(A_\pi = AA^{(p)} \cdots A^{(p^{a-1})}\), dann ist das charakteristische Polynom \(| A_\pi- \lambda E|\) von \(A_\pi\) eine (absolute) Invariante von \(\Gamma\) und es gilt:
\[ \overline{\pi} (\lambda) = (-1)^g \lambda^g | A_\pi- \lambda E| \] , wobei \(\overline{\pi} (\lambda)\) die Reduktion mod \(p\) des charakteristischen Polynoms des Endomorphismus \((x)\to (x^q)\) der Jacobischen Mannigfaltigkeit von \(\Gamma\) bezeichnet. Beweis mittels der Homologie mit Wittschen Vektoren als Koeffizienten.
In \(\S 2\) wird vorausgesetzt, daß \(K\) ein regulärer Funktionenkörper über \(k\) ist und \(k\) nichttriviale Derivationen (in \(k\)) besitzt. Jeder Derivation \(\partial\) von \(k\) wird eindeutig bis auf exakte Differentialformen, eine Derivation der äußeren Algebra der Differentialformen von \(K\) über \(k\) zugeordnet. Mit Hilfe des Cartieroperators wird in Theorem 2 gezeigt, daß im Falle \(K= R_k\) jede ,,Differentialabhängigkeit”, die zwischen einer zu den \(r_i\) kanonisch dualen Basis der Differentiale 1. Gattung von \(\Gamma\) bezüglich der oben erklärten Derivationen modulo den exakten Differentialen besteht, auch zwischen den Zeilen der Hasse-Wittschen Matrix gilt. Das ergibt Differentialgleichungen für \(A\), aus denen man im Falle \(g=1\) die klassische Differentialgleichung der Perioden des zugehörigen abelschen Integrals erhält, von der schon J.-i. Igusa [Proc. Natl. Acad. Sci. USA 44, 312–314 (1958; Zbl 0081.03601)] gezeigt hat, daß ihr die Invariante \(A\) von \(\Gamma\) genügt.
Reviewer: Robert Berger

MSC:
14H05 Algebraic functions and function fields in algebraic geometry
11R58 Arithmetic theory of algebraic function fields
11Gxx Arithmetic algebraic geometry (Diophantine geometry)
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Full Text: MNR