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Some applications of the notions of forcing and generic sets. (English) Zbl 0129.26401

Die Ergebnisse dieser ausgezeichneten Arbeit bestätigen erneut die fundamentale Bedeutung der Cohenschen Begriffsbildungen, der Begriffe forcing relation und generic (sequence of) sets [vgl. Paul J. Cohen, Proc. Natl. Acad. Sei. USA 50, 1143–1148 (1963) und 51, 105–110 (1964)]. Der Verf. benutzt von Dana Scott vorgeschlagene Modifikationen der Cohenschen Begriffe. Diese Modifikationen bieten viele Anwendungsmöglichkeiten und ergeben starke Vereinfachungen in der Darstellung. Der Begriff forcing ist ein syntaktischer Begriff, obwohl hinter seiner Einführung modelltheoretische Betrachtungen stehen. Der Verf. skizziert:
One starts with a certain language \(\mathbf L\), whose structures \(\mathcal M\) we are interested in. \(\mathbf L\) is extended to an auxiliary language \(\mathbf L^* = \mathbf L^*(S_0, \ldots, S_n, \ldots)\) containing (a finite or infinite sequence of) symbols \(S_0, \ldots, S_n, \ldots\) \((n < \delta\le \omega\), for the generic sets \(S_0, \ldots, S_n, \ldots\) to be defined. \(\mathbf L^*\) also contains means to denote the members of a structure \(\mathcal M^* = \mathcal M^*(S_0, \ldots, S_n, \ldots)\) of objects constructed in certain ways from the \(S_0, \ldots, S_n, \ldots\). Every \(\mathbf L^*\)-structure thus determines an \(\mathbf L\)-structure. Die vom Verf. benutzten Sprachen enthalten verschiedene Zeichen \(k\) für \(k = 0, 1, 2 , \ldots\).
Die forcing relation ist eine Beziehung zwischen einer endlichen konsistenten Menge \(Q\) (,,information”) von ,,Bedingungen” und einer Aussage \(\mathcal F\) von \(\mathbf L^*\). Die Bedingungen sind dabei prädikative Aussagen der Form \(S_n(\bar k)\) oder Negationen solcher Aussagen. (Der Verf. bevorzugt die Schreibweise \(\bar k\in S_n\) bzw. \(\bar k\notin S_n\).) Eine Menge \(Q\) von Bedingungen heißt konsistent, wenn für keine Zahlen \(k\) und \(n\), die beiden Aussagen \(S_n(\bar k)\) und \(\sim S_n(\bar k)\) Element von \(Q\) sind. Die Beziehung ,,\(Q\) forces \(\mathcal F\)” \((Q\Vdash \mathcal F)\) wird induktiv über den Aufbau von \(\mathcal F\) geführt, und zwar so, daß wenn \(Q\Vdash \mathcal F\) auch \((Q'\Vdash \mathcal F)\) für jede Extension \(Q'\) von \(Q\) (durch Hinzunahme neuer Bedingungen).
Von besonderem Interesse sind die Modelle \(\mathcal M^* = \mathcal M_\alpha^*(S_0, \ldots, S_n, \ldots)\) einer betrachteten Sprache \(\mathbf L^* = \mathbf L^*(S_0, \ldots, S_n, \ldots)\), für die die Folge \(S_0, \ldots, S_n, \ldots\) von Mengen eine ,,generic sequence of sets” ist. Sei \(\operatorname{Diag}(S_0, \ldots, S_n, \ldots)\) definiert durch:
(a) Für jedes \(k\) und \(n\) mit \(0\le n< \delta\) und \(\delta\) eine feste Zahl mit \(0 <\delta\le omega\) ist eine der beiden Aussagen \(S_n(\bar k)\) und \(\sim S_n(\bar k)\) Element von \(\operatorname{Diag}(S_0, \ldots, S_n, \ldots)\);
(b) Die Aussage \(S_n(\bar k)\) ist Element von \(\operatorname{Diag}(S_0, \ldots, S_n, \ldots)\) genau dann, wenn \(k\in S_n\). Eine Folge \(S_0, \ldots, S_n, \ldots\) von Mengen heißt generic genau dann, wenn es eine endliche Teilmenge \(Q\) von \(\operatorname{Diag}(S_0, \ldots, S_n, \ldots)\) gibt, so daß für jede Aussage \(\mathcal F\) von \(\mathbf L^*\) \(Q\Vdash \mathcal F\) oder \(Q\Vdash \sim\mathcal F\) gilt.
In dieser Abhandlung werden der metamathematische Begriff forcing und der sich daraus ergebende Begriff der generic (sequence of) sets in drei Gebieten angewandt, der elementaren Zahlentheorie, der Analysis der zweiten Stufe und der Mengenlehre.
Die Sprache \(\mathbf L\) der elementaren Zahlentheorie besteht aus Individuenvariablen \(x, y, z, \ldots\) (für natürliche Zahlen), den schon erwähnten Konstanten \(\bar k\) für \(k = 0, 1, 2, \ldots,\) vier Prädikaten \(\mathbf R_i\) \((i = 1, 2, 3, 4)\) für Relationen \(R_i\) mit \(R_1(x,y)\) genau dann, wenn \(x = y\), \(R_2(x y)\) genau dann, wenn \(x' = y\), \(R_3(x,y,z)\) genau dann, wenn \(x + y = z\), \(R_4(x,y,z)\) genau dann, wenn \(x\cdot y = z\), und den logischen Konstanten \(\sim\), \(\vee\), \(\bigvee\). Die Hilfssprache \(\mathbf L^* = \mathbf L^* (S_0, \ldots, S_n, \ldots)\) entsteht aus \(\mathbf L\) durch Hinzunahme von einstelligen Prädikaten \(S_n\), wobei \(0\le n < \delta\) für ein festes \(\delta\) mit \(0 < \delta \le \omega\). Der Verf. erhält viele Ergebnisse bezüglich der Sprache \(\mathbf L\) der elementaren Zahlentheorie:
Es gibt eine generic sequence of sets \(S_0, \ldots, S_n, \ldots\) \((n < \delta\) für jedes \(\delta\) mit \(0 < \delta \le \omega\).
Für jede arithmetische Aussage \(\mathcal F\) (Aussage von \(\mathbf L\)) gilt: \(Q\Vdash\mathcal F\) genau dann, wenn \(\mathcal F\) im Standardmodell \(\langle\omega, R_1, \ldots, R_4\rangle\) wahr ist.
Für jede generic sequence of sets \(S_0, \ldots, S_n, \ldots\) und für jede Aussage von \(\mathbf L^*\) gilt: \(\mathcal F\) ist wahr in \(\langle\omega, R_1, \ldots, R_4, S_0,\ldots,S_n, \ldots\rangle\) genau dann, wenn es eine endliche Teilmenge \(Q\) von \(\operatorname{Diag}(S_0, \ldots, S_n, \ldots)\) gibt, für die \(Q\Vdash\mathcal F\) gilt.
Die forcing relation ist eine \(\Pi_1^1\)-Menge, außerdem ist sie hyperarithmetisch. Jede generic sequence of sets \(S_0, \ldots, S_n, \ldots\) \((0\le n < \delta\) ist arithmetisch unabhängig. Es gibt hyperarithmetische und arithmetisch unabhängige Mengen \(S_0, \ldots, S_n, \ldots\) \((0\le n < \delta\). Insbesondere gibt es eine hyperarithmetische Menge \(S\), so daß für kein arithmetisches Prädikat\( A(X)\) \(S\) das eindeutig bestimmte \(X\) ist, für das \(A(X)\) gilt. Dabei heißt eine Menge \(B\) von natürlichen Zahlen arithmetisch abhängig von Mengen \(C_1, \ldots, C_{i-1}\) natürlicher Zahlen, wenn für ein arithmetisches Prädikat \(A(X,Y_1,\ldots, Y_{i-1})\) \(B\) das eindeutig bestimmte \(X\) ist, für das \(A(X,Y_1,\ldots, Y_{i-1})\) gilt.
Eine (endliche oder unendliche) Sequenz \(B_0, \ldots, B_n, \ldots\) von Mengen natürlicher Zahlen heißt arithmetisch unabhängig, wenn für kein \(n, m_1, \ldots, m_{i-1}\) und \(n\ne m_1, \ldots, m_{i-1}\), \(B_n\) arithmetisch von \(B_{m_1}, \ldots, B_{m_{i-1}}\) abhängig ist.
Die Sprache \(\mathbf L\) der Analysis der zweiten Stufe besteht aus der Sprache der elementaren Zahlentheorie, aus Variablen vom Typus 1 \(X, Y, Z, \ldots\) (für Mengen von natürlichen Zahlen) und aus einem zweistelligen Prädikat \(\in\). Die zugehörige Hilfssprache \(\mathbf L^* = \mathbf L^*(S_0, \ldots, S_n, \ldots)\) entsteht aus \(\mathbf L\) durch Hinzunahme von Konstanten \(S_0, \ldots, S_n, \ldots\) vom Typus 1 und für alle \(\alpha < \alpha_0\) von Variablen vom Typus 1 und vom Rang \(\alpha\), wobei \(\alpha_0\) eine feste Ordinalzahl ist, die eine abzählbare Limeszahl ist.
Für gegebene Mengen \(S_0, \ldots, S_n, \ldots\) \((0\le n < \delta)\) definiert der Verf. Modelle \(\mathcal M_\alpha^* = (\mathcal M_\alpha^*(S_0, \ldots, S_n, \ldots = \langle \mathcal M_\alpha^*, \in\rangle\) und den Begriff der Wahrheit in \(\langle \mathcal M_\beta^*\rangle_{\beta < \alpha}\). Durch geeignete Wahl von \(\alpha_0\) und durch Definition der \(\mathcal M_{\alpha_0}^*\)-Abhängigkeit und der \(\mathcal M_{\alpha_0}^*\)-Unabhängigkeit erhält der Verf. viele Resultate. Unter anderem beweist er, daß jede Generalisierte eines Axioms des hyperarithmetischen Komprehensionsaxiomenschemas
\[ \bigwedge x \left[\bigvee Y \mathfrak A(x,Y) \longleftrightarrow \bigwedge Z \mathfrak B(x,Z)\right] \rightarrow \bigvee X \bigwedge x \left[x \in X \longleftrightarrow \bigvee Y \mathfrak A(x,Y)\right] \]
\(\mathfrak A(x,Y)\), \(\mathfrak B(x,Z)\) arithmetische Ausdrücke) in \(\mathcal M_{\alpha_0}^*\) wahr ist.
Schließlich sei \(\mathbf L\) die Sprache der Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre ZF (ohne Auswahlaxiom). Wie bei Cohen sei \(\mathcal M\) ein abzählbares Modell von ZF, das ein Abschnitt der konstruierbaren Mengen von Gödel ist, und \(\alpha_0\) sei die erste Ordinalzahl, die nicht zu \(\mathcal M\) gehört. Als zugehörige Hilfssprache \(\mathbf L* = \mathbf L*(S_0, \ldots, S_n, \ldots\) kann die Sprache der verzweigten Typentheorie genommen werden, wobei Typus und Rang der Variablen kleiner als \(\alpha_0\) ist. Der Verf. nennt als Hauptergebnisse bezüglich ZF:
Aus den Axiomen der Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre ZF, dem Auswahlaxiom und der verallgemeinerten Kontinuumhypothese läßt sich keine mengentheoretisch definierbare Wohlordnung des Kontinuums nachweisen, d. h., es läßt sich keine Wohlordnungsrelation \(W\) für das Kontinuum \(K = \)Potenzmenge von \(\omega\) nachweisen, so daß \(W(X ,Y)\) genau dann, wenn \(X\in K \wedge Y\in K\wedge \mathcal F(X,Y)\) für einen mengentheoretischen Ausdruck (Ausdruck von \(\mathbf L)\) \(\mathcal F(X,Y)\). Das Primidealtheorem für Boolesche Algebren ist von den Axiomen der Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre ZF unabhängig.

MSC:

03Exx Set theory
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