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Vorlesungen über projektive Geometrie. (German) Zbl 0134.16203
Mathematik und ihre Anwendungen in Physik und Technik, Reihe A. Band 30. Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft Geest und Portig K.-G. 360 S. mit 90 Abb. (1965).
Die klassische im 19. Jahrhundert begründete projektive Geometrie beschäftigte sich in der analytischen Fassung nur mit Geometrie über dem reellen und komplexen Körper. Auch das Buch des Ref. [Mehrdimensionale projektive und höhere Geometrie. Berlin (1961; Zbl 0098.34001)] bewegt sich noch auf diesen Bahnen, wobei der moderne Gesichtspunkt nur in der Lösung von der Dimensionszahl 3 und der Basierung auf der linearen Algebra zum Ausdruck kam. Demgegenüber hat nun die moderne Axiomatik und Algebra eine Fülle von neuen Tatsachen mit völlig veränderten Blickrichtungen zur projektiven Geometrie alten Stils beigetragen. Der Verf. des vorliegenden Werkes hat es mit großer Sachkenntnis und Geschick in der Darstellung verstanden, alle diese neueren Gesichtspunkte in seinem Buch zu verarbeiten. Die klassischen Sonderfälle werden jeweils besonders hervorgehoben, und viele beigefügte Zeichnungen lassen die Anschauung auch nicht zu kurz kommen.
Im Kap. 1 werden die projektiven Ebenen und Räume axiomatisch eingeführt, wobei insbesondere zwischen den Desargues-, Moufang- und Fano-Ebenen zu unterscheiden ist.
Im Kap. 2, betitelt „Klassische synthetische Geometrie“ wird zunächst das Doppelverhältnis in projektiven Ebenen über einem kommutativen Körper eingeführt, darauf werden vor allem die Kegelschnitte in der von Staudtschen und Steinerschen Erzeugung mit ihren Involutionen und Autokollineationen behandelt.
Im Kap. 3 führt der Verf. dann in der durch Artin und ihn selber vervollkommneten Weise Koordinaten in Desarguesschen Ebenen ein.
Im Kap. 4 werden Kollineationen und Korrelationen behandelt mit den zugehörigen Hauptsätzen über die Kennzeichnung von linearen Kollineationen und involutorischen Autokorrelationen der projektiven Räume.
Im Kap. 5. betitelt „Trennung und Anordnung“ werden sorgfältig alle hierher gehörigen Fragen untersucht, die in den letzten Jahren vielfach gefördert wurden, insbesondere in der Schule von Sperner.
Viele die Quadriken in den projektiven Räumen betreffenden Fragen sind dann der Gegenstand der Kap. 6 und 7. Im Sinne der modernen Mathematik werden die Quadriken als Gesamtheit derjenigen Vektoren eingeführt, die bezüglich einer vorgegebenen symmetrischen Vektormetrik auf sich senkrecht stehen. Im Kap. 6 werden die Quadriken über sogenannten gewöhnlichen projektiven Räumen behandelt, d. h. in solchen über Koordinatenkörpern einer Charakteristik \(p = 2\). Grundlegend sind hierbei Begriffe wie Wittsche Zerlegung eines metrisierten Vektorraumes und Kernformen, die den nullteiligen Quadriken der klassischen Theorie entsprechen.
Danach geht der Verf. im Kap. 8 auf die Quadriken über formalreellen, endlichen, \(p\)-adischen und rationalen Körpern ein. Dabei dringt er tiefer in das Gebiet der Zahlentheorie ein als dies sonst in geometrischen Büchern üblich ist. Im Kap. 8 werden die Kollineationen und Korrelationen eines projektiven Raumes auf sich klassifiziert, wobei die Sätze über Minimalpolynome, Fixräume, Jordansche Normalformen usw. zur Sprache kommen.
Im Kap. 9 „Gruppen von Kollineationen“ finden dann einige Begriffe aus der hyperbolischen Geometrie und Trigonometrie ihren Platz.
Erstmalig für ein Buch der vorliegenden Art ist das Kap. 10 über algebraische Varietäten. Hierin werden die Grundbegriffe der Algebraischen Geometrie behandelt bis hin zum ebenen Bézoutschen Satz und einigen Grundtatsachen über ebene Kurven, insbesondere solche von 3. Ordnung.
Das letzte kurze Kapitel „Projektive Räume mit topologischer Struktur“ setzt einige Vorkenntnisse aus der modernen Topologie voraus.

MSC:
51-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to geometry