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\(p\)-adic analytic groups. (Groupes analytiques \(p\)-adiques.) (French) Zbl 0139.02302
Étant donné un nombre premier \(p\), on appelle pro-\(p\)-groupe une limite projective de \(p\)-groupes finis, chacun étant muni de la topologie discrète; ce sont donc des groupes compacts totalement discontinus, dans lesquels la suite des \(p^n\)-èmes puissances d’un élément quelconque tend vers l’élément neutre \(e\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\). D’autre part, soit \(\mathbb Q_p\) le corps \(p\)-adique; un groupe analytique \(p\)-adique est un ensemble \(G\) sur lequel sont définies: (1) une structure de variété analytique sur \(\mathbb Q_p\); (2) une application analytique \(G\times G\rightarrow G\) qui définit une loi de groupe sur \(G\). Il est facile de voir qu’un groupe analytique \(p\)-adique est un pro-\(p\)-groupe. L’A. se propose surtout d’étudier les groupes analytiques \(p\)-adiques compacts et de les caractériser parmi les pro-\(p\)-groupes.
A cet effet, il introduit et utilise la notion de groupe \(p\)-valué. C’est un groupe \(G\) muni d’une application \(\omega\) de \(G\) dans \(]0, +\infty]\) (dite \(p\)-valuation) vérifiant les 5 conditions: 1. \(\omega(x) < +\infty\) pour \(x\ne e\); 2. \(\omega(x)> 1/(p - 1)\) pour tout \(x\in G\); 3. \(\omega(xy^{-1}) \ge \inf (\omega(x), \omega(y))\); 4. \(\omega(x^{-1}y^{-1}xy) \ge \omega(x) + \omega(y)\); 5. \(\omega(x^p) = \omega(x) + 1\).
Les ensembles \(G_a\) définis par \(\omega(x) \ge a\) (pour \(a > 0)\) sont des sous-groupes distingués de \(G\) qui forment un système fondamental de voisinages de \(e\) pour une topologie de groupe sur \(G\); \(G\) est dit \(p\)-saturé s’il est complet pour cette topologie, et de plus si, pour \(\omega(x) > p/(p - 1)\) il existe \(y\in G\) tel que \(y^p = x\). Les sous-groupes \(G_a\) constituent ce que l’A. appelle une filtration sur \(G\) (en un sens généralisé du sens usuel où les indices sont entiers), et il lui associe une \(\mathbb Z\)-algèbre de Lie graduée (en un sens généralisé de la même façon) \(\operatorname{gr}(G)\), qui est naturellement munie d’une structure d’algèbre de Lie sur l’anneau \(\mathbb F_p[T]\) des polynômes sur le corps premier \(\mathbb F_p\).
L’étude de ces notions est faite de façon approfondie dans les chap. I et II, et leur application aux groupes analytiques \(p\)-adiques commence avec le chap. III. Pour un groupe \(p\)-valué \(G\), \(\operatorname{gr}(G)\) est un \(\mathbb F_p[T]\)-module libre; son rang est ce qu’on appelle le rang de \(G\). Si \(G\) est un groupe analytique \(p\)-adique de dimension \(r\) en tant que variété analytique sur \(\mathbb Q_p\), il contient un sous-groupe ouvert \(H\) dont la topologie peut être définie par une \(p\)-valuation à valeurs entières pour laquelle \(H\) est de rang \(r\), et est \(p\)-saturé. Le sous-groupe \(H_{n+1}\) si \(p > 2\) (resp. \(H_{n+2}\) si \(p = 2)\) est alors l’ensemble des \(p^n\)-èmes puissances des éléments de \(H\), autrement dit la \(p\)-valuation de \(H\) est entièrement déterminée par sa structure de groupe abstrait. On dit qu’un groupe abstrait \(G\) est \(p\)-valuable (resp. \(p\)-saturable) s’il existe une \(p\)-valuation de \(G\) pour laquelle \(G\) est \(p\)-valué complet (resp. \(p\)-saturé) et de rang fini. Tout groupe \(p\)-valuable possède une structure canonique de pro-\(p\)-groupe analytique; et inversement, un pro-\(p\)-groupe analytique \(G\) possède un sous-groupe \(p\)-valuable d’indice fini égal à une puissance de \(p\); la dimension de \(G\) est donnée par \(r = \displaystyle\lim_{n\to\infty} n^{-1} \log_p\left(G:G^{p^n}\right)\), où \(G^{p^n}\) désigne le sous-groupe engendré par les puissances \(p^n\)-èmes des éléments de \(G\).
L’A. donne alors de remarquables critères pour qu’un pro-\(p\)-groupe de type fini (c’est-à-dire engendré topologiquement par un ensemble fini) soit un pro-\(p\)-groupe analytique: par exemple, si \(p > 2\), il suffit que tout commutateur soit contenu dans le sous-groupe de \(G\) engendré par les \(p\)-èmes puissances; ou encore, pour tout \(p\), il suffit que chaque commutateur soit contenu dans le sous-groupe engendré par les \(p^2\)-èmes puissances. D’autres critères intéressants sont donnés dans l’Appendice.
Le chap. IV développe la correspondance biunivoque canonique entre groupes analytiques \(p\)-saturés et algèbres de Lie sur l’anneau \(\mathbb Z_p\) des entiers \(p\)-adiques, valuées et saturées (en des sens correspondant à ceux définis pour les groupes). Pour cela, on définit canoniquement, à partir d’un groupe \(p\)-saturé \(G\), une “application diagonale” \(\Delta: A\to A\otimes A\) sur la saturée \(A\) de l’algèbre de groupe \(\mathbb Z_p[G]\); \(G\) se reconstitue alors à partir de \(A\) comme l’ensemble des \(x\) tels que \(\Delta(x) = x \otimes x\) et tels que la valuation de \(x - 1\) soit \(> 1/(p - 1)\). On définit sur ce même ensemble une structure d’algèbre de Lie au moyen de la formule de Hausdorff, qui permet inversement de remonter de cette structure d’algèbre de Lie à la structure de groupe de \(G\).
Le dernier chapitre traite de la cohomologie des groupes analytiques \(p\)-adiques. Deux sortes de cohomologie sont introduites, la cohomologie “continue” et la cohomologie “analytique”, à valeurs dans un \(\mathbb Z_p\)-module complet \(M\); on prouve qu’elles sont isomorphes lorsque \(q\) contient un sous-groupe \(p\)-valuable d’indice fini et que \(M\) est sans torsion et de rang fini sur \(\mathbb Z_p\). D’autre part, la cohomologie continue de \(G\) dans \(M\) s’identifie canoniquement à la cohomologie de son algèbre de Lie, moyennant des hypothèses convenables sur \(M\). On a enfin une “dualité de Poincaré” pour un groupe \(p\)-valué complet de rang fini \(G\) lorsque \(\operatorname{gr}(G)\) est un \(\mathbb Z_p[T]\)-module engendré par ses éléments d’un même degré (on dit alors que \(G\) est équi-\(p\)-valué; tout pro-\(p\)-groupe analytique contient un sous-groupe ouvert équi-\(p\)-valué); l’algèbre de cohomologie continue \(H_c^*(G; \mathbb F_p)\) est isomorphe à l’algèbre extérieure du \(\mathbb F_p\)-espace vectoriel \(H_c^1(G; \mathbb F_p)\).
Reviewer: Jean Dieudonné

MSC:
14Lxx Algebraic groups
22E55 Representations of Lie and linear algebraic groups over global fields and adèle rings
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Full Text: Numdam EuDML