×

zbMATH — the first resource for mathematics

The Tate height of points on an abelian variety, its variants and applications. (Die Tatesche Höhe von Punkten auf einer abelschen Mannigfaltigkeit, ihre Varianten und Anwendungen.) (Russian) Zbl 0147.20304
Zunächst die Überschriften der einzelnen Paragraphen: 1. Die Tatesche Höhe; 2. Dualität; 3. Die Höhe auf minimalen Modellen über funktionalem Konstantenkörper; 4. Die Tatesche Höhe und Cremona-Transformationen; 5. Ein Zahlenbeispiel; 6. Eine Klasse von Kurven mit endlich vielen rationalen Punkten.
Sei \(K\) ein globaler Zahl- oder Funktionenkörper. Im projektiven Raum über \(K\) kann bekanntlich eine Höhe der Punkte definiert werden: \[ h(x_0: \cdots : x_n) \prod_{\mathfrak p} \sup_\nu w{_\mathfrak p} (x_\nu) \] [vgl. S. Lang, Diophantine geometry. New York etc.: Interscience Publishers (1962; Zbl 0115.38701), chapter III]. Sei \(A\) eine über \(K\) definierte Abelsche Mannigfaltigkeit. Jede Abbildung von \(A\) in einen projektiven Raum mit fixiertem Koordinatensystem definiert also eine Höhenfunktion \(h(P)\) auf der Gruppe \(A_K\) der (bezüglich \(K\)) rationalen Punkte von \(A\).
§1 enthält den auf J. Tate zurückgehenden Beweis folgender fundamentalen Tatsache: \[ h(P) = f(P, P) + l(P) + O(1) \] für alle \(P\) aus \(A_K\), wobei \(f(Q_1, Q_2)\) eine symmetrische Bilinearform auf \(A_K\times A_K\) mit reellen Werten und \(l(P)\) eine Linearform auf \(A_K\) mit reellen Werten sind. („Bilinear“ bzw. „linear“ bezieht sich auf die Gruppenverknüpfung in \(A_K\).) Der quadratische Anteil \(\hat h(P)= f(P, P)\) heißt die (von der gewählten Einbettung abhängige) Tatesche Höhe des Punktes \(P\).
In §2 wird gezeigt, daß mit Hilfe der Tateschen Höhe eine natürliche Paarung von \(A_K\) und den \(K\)-rationalen Punkten der Picardschen Mannigfaltigkeit von \(A\) konstruiert werden kann. In §3 wird vorausgesetzt, daß \(k\) ein Funktionenkörper ist. Unter gewissen Einschränkungen gibt es dann eine Untergruppe \(A_K^{(1)}\) von endlichem Index in \(A_K\), auf der man die Tatesche Höhe durch eine Schnittzahl ausdrücken kann. Diese Überlegungen sind inzwischen für den Fall eines Zahlkörpers \(K\) ergänzt worden durch A. Néron [Ann. Math. (2) 82, 249–331 (1965; Zbl 0163.15205); Degré d’intersection en géométrie diophantienne, Int. Congr. Math., Moscow 1966, Abstracts of Reports, 71–81 (1966), see also Zbl 0204.54401]. Übrigens wird in der Arbeit von A. Néron gezeigt, daß ganz allgemein eine auch vom Verf. in vorliegender Arbeit vermutete Zerlegung der Tateschen Höhe in lokale Bestandteile existiert. [Vgl. auch S. Lang [Les formes bilinéaires de Néron et Tate, Sémin. Bourbaki 16 (1963/64), Exp. No. 274, 11 p. (1964; Zbl 0138.42101).]
§4 ist einem Kapitel der Flächentheorie gewidmet: Die projektive Ebene wird durch Aufblasen von 9 Punkten monoidal transformiert in eine Fläche \(F\), die in elliptische Kurven gefasert werden kann. Vgl. Kapitel VII in Tr. Mat. Inst. Steklov. 75 (1965). Es werden alle Schnitte des Faserbündels \(F\) beschrieben und deren Tatesche Höhen berechnet.
§§5, 6 beziehen sich auf den Fall eines Zahlkörpers \(K\). §6 gibt einen Beitrag zur Mordellschen Vermutung: Gewisse Kurven eines Geschlechts \(\ge 2\), die auf dem Produkt einer elliptischen Kurve mit sich selbst liegen, besitzen nur endlich viele rationale Punkte. Zum Beispiel wird gezeigt, daß \(x^6 + y^6 = A\) im Körper \(Q(A)\) nur endlich oft lösbar ist, wenn der Rang der elliptischen Kurve \(x^2 + y^3 = A\) über \(Q(A)\) nicht größer als \(1\) ist. In diesem Zusammenhang sei noch hingewiesen auf die Arbeiten von D. Mumford [Am. J. Math. 87, 1007–1016 (1965; Zbl 0151.27301)], S. Lang [Am. J. Math. 86, 521–533 (1964; Zbl 0142.29601)], V. A. Dem’yanenko [Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 30, 1373–1396 (1966; Zbl 0142.18801)], in denen die Tatesche Höhe entscheidend zur Lösung diophantischer Probleme angewandt wird.
Reviewer: Olaf Neumann

MSC:
14G40 Arithmetic varieties and schemes; Arakelov theory; heights
PDF BibTeX XML Cite