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Valutazioni in \(L_ p(\mathbb R^ n)\) della soluzione del problema di Cauchy per l’equazione di Schrödinger. (Italian) Zbl 0167.10401
Verf. untersucht die Lösung des Cauchyproblems für die Schrödingergleichung \(u_y=i\Delta u\) in \(\mathbb R^n\times [0,\infty)\) mit Anfangswert \(u_0\in S(\mathbb R^n)=\{u\mid u\in C^\infty(\mathbb R^n), x^\alpha D^\beta u(x)\to 0\) für \(| x|\to\infty\) und alle Multiindizes \(\alpha,\beta\}\). Es gilt \(\| u(\cdot,y)\|_2=\| u_0\|_2\), während für \(p\neq 2\) eine Abschätzung \(\| u(\cdot,y)\|_p\leq C(y)\| u_0\|_p\) für alle \(u\in S(\mathbb R^n)\) nicht möglich ist (\(\|\cdot\|_p\) bezeichne die Norm von \(L_p(\mathbb R^n)\)). Es sei \(F\) die Fouriertransformation in \(S(\mathbb R^n)\), \(F^{-1}\) ihre Inverse, \(J_{-\alpha}\) der Operator der Multiplikation mit \((1+| x|^2)^{\alpha/2})\) für \(\alpha\in\mathbb R\) und \(\Gamma_k\) die Multiplikation mit der charakteristischen Funktion der Menge \(\{x\in\mathbb R^n\mid 2^{k-1}<\max | x_j|\leq 2^k\}\) fur \(k\geq 1\) und \(\{x\in\mathbb R^n\mid \max | x_j|\leq 1\}\) für \(k=0\). Für \(u\in S(\mathbb R^n)\) sei \(\| u\|_{p,\alpha}=\| F^{-1}J_{-\alpha}Fu\|_p\) und \(\|| u|\|_{p,\alpha}=\left\{\sum_{k=0}^\infty \| F^{-1}\Gamma_kJ_{-\alpha}Fu\|_p^p\right\}^{1/p}\) für \(\alpha\in \mathbb R\) und \(1<p<\infty\).
Satz: Für das Bestehen einer Abschätzung \[ \| u(\dot,y)\|_p\leq C(\alpha,y)\| u_0\|_p \] für alle \(u_0\in S(\mathbb R^n)\) ist \(\alpha\geq 2\rho=2n| 1/p-1/2|\) notwendig und \(\alpha>2\rho\) hinreichend; eine Schranke ist \(C(\alpha,y)=C(\alpha)(1+y^2)^{\rho/2}\). Für die Abschätzung \[ \|| u(\cdot,y)|\|_{p,0}\leq B(\alpha,y)\|| u_0|\|_{p,\alpha} \] für alle \(u_0\in S(\mathbb R^n)\) ist \(\alpha\geq 2\rho\) notwendig und hinreichend; eine Schranke ist \(B(\alpha,y)=B(\alpha)(1+y^2)^{\rho/2}\).
Reviewer: K. Jörgens

MSC:
35J10 Schrödinger operator, Schrödinger equation
35J25 Boundary value problems for second-order elliptic equations
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