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Foundations of algebraic geometry. Revised and enlarged edition. (English) Zbl 0168.18701
Dies ist die zweite durchgesehene und erweiterte Auflage des Buches. Dabei wurden, wie der Verf. im Vorwort sagt, die ersten 6 Kapitel der alten Auflage photographisch übernommen, die restlichen Kapitel VII–X wurden neu geschrieben. Dabei wurde die Gesamtkonzeption möglichst unangetastet gelassen. Von der ersten Auflage (1946), die lange Zeit das Standardwerk der modernen algebraischen Geometrie in bezug auf die Schnittheorie war, ist ein ausführliches Referat von O. F. G. Schilling erschienen [vgl. Zbl 0063.08198], so daß sich der Referent hier darauf beschränken kann, auf den Inhalt der neu geschriebenen Kapitel hinzuweisen:
Chap. VII, The Geometry of Abstract Varieties: Verf. führt die Zariski-Topologie ein, behandelt rationale Abbildungen und bringt dann eine Darstellung der Theorie seiner abstrakten Varietäten mit ausführlicher lokaler Schnitttheorie.
Chap. VIII, The Calculus of Cycles: Dieses Kapitel handelt von der Schnitttheorie abstrakter Varietäten „im Großen“, für die der passende Apparat entwickelt wird. Ist \(U\) eine abstrakte Varietät, so versteht der Verf. unter einer \(r\)-Kette ein Element der freien abelschen Gruppe, die von allen \(r\)-dimensionalen Untervarietäten von \(U\) erzeugt wird, während ein \(r\)-Zykel ein Element der von den auf \(U\) einfachen \(r\)-dimensionalen Untervarietäten erzeugten freien abelschen Gruppe ist. Der Hauptunterschied gegenüber der ersten Auflage ist, daß das Schnittprodukt zweier Zykeln hier immer definiert ist, während es früher nur für „properly intersecting cycles“ definiert war. Dadurch werden viele Resultate glatter und zum Teil auch allgemeiner.
Chap. IX, Divisors and Linear Systems: Es werden lineare Systeme für beliebige Divisoren betrachtet (in der ersten Auflage nur für Hauptdivisoren). Dabei wird auch ausführlich auf die Zusammenhänge linearer Systeme mit projektiven Räumen eingegangen, während in der ersten Auflage die projektiven Räume nur im Anhang auftraten. Weitere Stichwörter sind: Lineare Äquivalenz, ample Divisoren und Systeme, irreduzible lineare Systeme, allgemeine Elemente linearer Systeme.
Chap. X, Comments and Discussions: Hier gibt der Verf. in Form von Rückblicken auf gewisse Stellen seines Buches Überblicke über wichtige Fragen der algebraischen Geometrie und stellt Zusammenhänge zu den Auffassungen anderer Autoren her, nicht immer ohne eine gewisse Polemik.
Der Inhalt: 1. Qualitative and quantitative algebraic geometry, 2. The universal domain, 3. The concept of affine variety, 4. Derivations and differential forms, 5. Specializations, 6. The theory of intersections, 7. Abstract varieties and their generalizations, 8. Comments on Chapter IX (Betrachtet werden insbesondere Chow-Formen von Zykeln und Rationalitätsfragen bei Zykeln), 9. Equivalence theories and open questions.
Das Buch schließt mit drei Anhängen. Appendix I: Normal Varieties and Normalization, Appendix II : Characterization of the \(\mathfrak i\)-symbol by its properties (Beide wie in der ersten Auflage). Neu ist Appendix III: Varieties over topological fields.
Reviewer: Robert Berger

MSC:
14-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to algebraic geometry
14-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to algebraic geometry