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Qualitative theory of impulse systems. (Teoria calitativă a sistemelor cu impulsuri) (Qualitative Theorie der Impulssysteme.) (Romanian) Zbl 0176.05202

Bucureşti: Editura Academiei Republicii Socialiste România, 312 p. (1968).
Die Anwendung der Distributionen (verallgemeinerten Funktionen) auf Differentialgleichungen geht zurück auf Heaviside und Dirac, lange bevor die mathematische Fundamentierung zufriedenstellend geklärt war. In seinem grundlegenden Werk „Théorie des distributions. I “ [Paris: Hermann (1950; Zbl 0037.07301), II (1951; Zbl 0042.11405)] hat Laurent Schwartz auch solche Anwendungen genau untersucht. Auf dem Gebiet der partiellen Differentialgleichungen erfolgte dann ein großzügiger Ausbau der Theorie [siehe z.B. Lars Hörmander, Linear partial differential operators. Berlin etc.: Springer (1963; Zbl 0108.09301)]. Die Anwendung der Distributionen auf gewöhnliche Differentialgleichungen wurde dagegen verhältnismäßig vernachlässigt. Dieses Buch ist ein Beweis dafür, daß auch hier noch viele schöne Probleme zu finden sind, welche auch von Interesse für technische Anwendungen sind.
Die allgemeine Differentialgleichung \(x'(t) = F(t,x(t))\), wo \(x\) ein \(n\)-Vektor ist und sowohl \(x(t)\) wie \(F(t,x)\) als Distributionen aufgefaßt werden, wird eigentlich sehr wenig behandelt. Für die Differentialgleichung \[ x'+ F(t,x(t)) = f \tag{1} \] wird ein dem Carathéodoryschen analoger Existenzsatz aufgestellt, unter der Bedingung, daß \(F(t,x)\) eine den klassischen Bedingungen genügende Funktion ist und \(f\) eine Distribution erster Ordnung, d.h. (Diracsche) \(\delta\)-Funktionen enthalten darf, jedoch nicht Ableitungen derselben. Die Existenz einer Maximallösung wird bewiesen. In Anlehnung an die Anwendungen in Physik und Technik wird die Differentialgleichung (1) als Eingang-Ausgang-Operator angesehen. Bedingungen für die Eindeutigkeit der Lösungen werden gegeben.
Hauptsächlich der lineare Fall: \[ x'+A(t)x=f \tag{2} \] wird behandelt, wo \(A(t)\) eine stetige oder integrierbare Matrix ist. Als wichtigste Eigenschaften werden die Stabilität und Beschränktheit der Lösungen, sowie die Existenz periodischer und fastperiodischer Lösungen untersucht, letzteres unter der Voraussetzung, daß \(A(t)\) und \(f\) periodisch oder fastperiodisch sind. Dabei stellt sich heraus, daß die klassische Bohrsche Definition fastperiodischer Funktionen nicht genügend allgemein ist. Die Definition wird sinnvoll abgeändert, indem zugelassen wird, daß die Sprungstellen \(t_k\) der fastperiodischen Funktion nicht genau periodisch liegen (wie dies sein müßte, um der Bohrschen Definition zu genügen), sondern sich nur einer periodischen Folge asymptotisch nähern. Die Untersuchung dieser Eigenschaften für die Differentialgleichung (2) führt sofort auf ein entsprechendes Problem für eine diskrete Differenzengleichung. Solche Differenzengleichungen werden deshalb gleich in den ersten Kapiteln behandelt. Es ist hervorzuheben, daß viele Resultate entweder ganz neu sind oder von den Verff. erst vor Kurzem veröffentlicht wurden.
Inhalt: Einleitung. 1. Stabilität diskreter Systeme; Anhang: Stabilität diskreter Systeme mit Zufallsparametern. 2. Periodische und fastperiodische Lösungen diskreter Systeme; Anhang: Fastperiodische Folgen. 3. Systeme von Differentialgleichungen mit Impulsen. 4. Mit Distributionen gestörte Systeme; Anhang: Periodische, fastperiodische und beschränkte Distributionen.
Zusammenfassend kann man sagen, daß dieses attraktive Buch sehr empfehlenswert ist, sowohl für den an den Anwendungen interessierten Leser als auch für den Mathematiker, welcher an neuen Forschungsgebieten Gefallen findet. Trotzdem der Stoff neuen Forschungen entspricht, ist das Buch verhältnismäßig leicht verständlich und man kann nur hoffen, daß es bald in eine bekanntere Sprache übersetzt wird.
Reviewer: Emilio O. Roxin

MSC:

34-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to ordinary differential equations
34A37 Ordinary differential equations with impulses
46F05 Topological linear spaces of test functions, distributions and ultradistributions