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Interval analysis. (English) Zbl 0176.13301
Prentice-Hall Series in Automatic Computation. Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall, Inc. xi, 145 p. (1966).
Die vorstehend besprochene Arbeit von T. Sunaga [RAAG, Res. Notes, III. Ser., Unifying Study Basic Probl. Engin. Phys. Sci. by Means of Geom. 2, 29–46 (1958; Zbl 0176.13201)] läßt dieses Buch als großangelegte Anwendung und spezialisierende Weiterführung obiger Ansätze und Ausführungen erscheinen, hier abgestimmt auf automatische Fehlererfassung bzw. sicheres Rechnen mit und auf Digitalrechnern, ob durchgehend von Operation zu Operation oder nur als a-posteriori-Abschätzung zur Sicherung der Ergebnisse, bleibt dahingestellt. Das Buch enthält 13 Abschnitte, einen Anhang – 2 Seiten illustrierende Zusätze – und ein zwei Seiten langes Sachwortverzeichnis. Außer den Abschnitten 2 und 6 ist jeder Abschnitt mit Literaturangaben versehen, Beispiele sind gegebenenfalls in den Text eingearbeitet. Verf. führt seine Erörterung meist bis zum Einschluß einer Maschinenintervallarithmetik (endlichstellige Zahlen, Rundungseffekte) durch. In den Abschnitten 2 bis 4 wird die algebraische Struktur der Menge der abgeschlossenen reellen Intervalle einschließlich topologischer und metrischer Eigenschaften untersucht, sowie die Definition für die Intervallfunktion (Punkt \(\to\) Intervall) gegeben. Abschniott 5 enthält Überlegungen zur (direkten) Berechnung linearer Intervall-Gleichungssysteme, im wesentlichen aber eine Methode von E. Hansen zur Invertierung von Intervallmatrizen, Im Abschnitt 6 wird Intervallanalysis fortgesetzt mit Intervall-Mittelwertsätzen für (reelle) Funktionen in einer und \(n\) (reellen, unabhängigen) Variablen und anschließend ein Algorithmus zur Bestimmung von Extremwerten (bzw. Wertebereich) von rationalen (reellen) Funktionen mit (reellen, unabhängigen) Variablen (ohne Singularltäten) auf einem \(n\)-dimensionalen Intervall vorgeführt (Approximation nicht-rationaler durch rationale Funktionen).
Die Abschnitte 7 bis 13 enthalten Anwendungen verschiedener Art und auf verschiedenen Gebieten: Unter Verwendung von Fixpunktbetrachtungen bringt Abschnitt 7 eine Intervallversion des Newton-Verfahrens für eine und mehrere Unbekannte, Abschnitt 8 Intervallquadraturen (einschließlich Intervall für obere Grenze) und Abschnitt 9 eine Anwendung der Intervallanalysis bei der numerischen Lösung von Integralgleichungen. Die übrigen Abschnitte sind der Lösung von Anfangswertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen (einschließlich Systemen) gewidmet, Abschnitt 11 speziell der automatisierenden Berechnung von Koeffizienten bei Taylorreihenansätzen und Abschnitt 13 der Koordinatentransformation, um brauchbare (nicht wie üblich exponentiell auseinanderlaufende) Fehlerschranken für die Lösungsfunktion zu erhalten. Die wesentlichsten Ergebnisse dieser Abschnitte dürften aus früheren Arbeiten des Verf. bekannt sein.
Will man sich nicht von dem in den ersten Abschnitten anscheinend sich verselbständigenden Formalismus der Intervallrechnung einfangen lassen, sollte man das Buch gegebenenfalls von hinten lesen; so erscheint die Intervallrechnung als brauchbares Hilfsmittel für die vorgetragenen Untersuchungen.

MSC:
65-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to numerical analysis
65G40 General methods in interval analysis
65Gxx Error analysis and interval analysis