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Algebra. 2. Teil. Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. 4. Aufl. der Modernen Algebra. (German) Zbl 0192.33001

Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 34. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag. ix, 275 S. (1959).
Vgl. die Besprechung früherer Auflagen im Zbl 0002.00804, Zbl 0022.29801 und Zbl 0067.00502.


Gegenüber der 3. Aufl. sind zwei Kapitel hinzugekommen, nämlich eines über algebraische Funktionen einer Variablen, das bis zum Riemann-Rochsehen Satz für beliebige Konstantenkörper vorstößt, und eines über topologische Algebra, in dem hauptsächlich die Komplettierung der topologischen Gruppen, Ringe und Schiefkörper, sowie die Theorie der lokal beschränkten und der lokal kompakten Schiefkörper behandelt wird. Das Kapitel ”Allgemeine Idealtheorie” wurde durch Aufnahme der wichtigen Sätze von Krull über symbolische Potenzen von Primidealen und über Primidealketten erweitert. Im Kapitel ”Ganze algebraische Größen” wurde der Zusammenhang der Idealtheorie der ganz-abgeschlossenen Ringe mit der Bewertungstheorie deutlicher hervorgehoben. Dem Kapitel ”Lineare Algebra” wurde ein Paragraph über antisymmetrische Bilinearformen zugefügt. Im Kapitel ”Algebren” wurden die Beispiele vermehrt, die Theorie des Radikals nach Jacobson ohne Endlichkeitsbedingung entwickelt und die grundlegenden Ideen von Emmy Noether über direkte Summen und Durchschnitte von Moduln stärker betont. Durch Kombination der Methoden von Jacobson mit denen von Emmy Noether konnten die Beweise der Hauptsätze stark vereinfacht werden. Im Kapitel ”Darstellungstheorie” wurden einige Paragraphen neu geschrieben. Durch Kürzungen wurde versucht, den Umfang des Buches in annehmbaren Grenzen zu halten. So ist das Kapitel ”Eliminationstheorie” weggefallen. Der Satz von der Existenz des Resultantensystems für homogene Gleichungen, der früher mittels der Eliminationstheorie bewiesen wurde, erscheint jetzt als Folge des Hilbertschen Nullstellensatzes im Kapitel ”Theorie der Polynomideale”. (Nach dem Vorwort)

MSC:

12-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to field theory
13-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to commutative algebra
14-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to algebraic geometry
16-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to associative rings and algebras
22-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to topological groups
00A05 Mathematics in general