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Algebraic numbers and algebraic functions. (English) Zbl 0194.35301
Notes on Mathematics and its Applications. New York-London-Paris: Gordon and Breach, Science Publishers. xiv, 349 pp. (1967).
Vorliegendes Buch stellt den begrüssenswerten Wiedruck der Lecture Notes einer vom Verf. 1950/51 an der Universität Princeton gehaltenen Vorlesung dar (vgl. New York: Princeton University, New York University. ii, v, 345 p. (1951; Zbl 0054.02101)). Es enthält Bewertungstheorie, lokale Klassenkörpertheorie (noch nicht explizit homologisch), und eine Theorie der algebraischen Zahl- und Funktionenkörper in einer Unbestimmten unter dem beiden gemeinsamen Aspekt der Gültigkeit der Produktformel, wobei Verf. das Hauptgewicht auf die Theorie der Funktionenkörper und den Satz von Riemann-Roch legt. Die Lektüre erfordert an Vorkenntnissen neben der Galoistheorie die Grundbegriffe der Topologie, wie sie etwa in [N. Bourbaki, Éléments de mathématiques. Fasc. II, III. Paris: Hermann (1961; Zbl 0102.37603), 1960; Zbl 0102.27104)] zu finden sind. Das Buch kann dem Leser von [E. Artin and J. Tate, Class field theory. New York etc.: W. A. Benjami (1986; Zbl 0176.33504)] gut als Vorbereitung dienen.

Der Inhalt: Part I: General Valuation Theory.
Chapters 1–5: Valuations of a field. Complete fields. \(e\), \(f\) and \(n\). Ramification theory. The different.
Part II: Local Class Field Theory.
Chapters 6–10: Preparations for local class field theory. The first and second inequalities. The norm residue symbol. The existence theory. Applications and illustrations.
Part III: Product Formula and Function Fields in One Variable.
Chapters 11–17: Preparation for the global theory. Characterization of fields by the product formula. Differentials in \(PF\)-fields. The Riemann-Roch theorem. Constant field extensions. Applications of the Riemann-Roch theorem (places and valuation rings, algebraic curves, linear series, fields of genus zero, elliptic fields, the curve of degree \(n\), hyperelliptic fields, the theorem of Clifford). Differentials in function fields.
Appendix: Theorems on \(p\)-groups and Sylow groups.
Index of symbols. Subject index.
Ungeachtet einiger verzeihlicher Mängel, wie z. B. der zahlreichen Druckfehler, hat dieses Buch – dank der meisterhaften Darstellungsweise des Verf. – noch heute einen hervorragenden Platz in der zahlentheoretischen Literatur inne.

MSC:
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11R37 Class field theory
11S31 Class field theory; \(p\)-adic formal groups
11S15 Ramification and extension theory
11R58 Arithmetic theory of algebraic function fields
14H05 Algebraic functions and function fields in algebraic geometry
01A75 Collected or selected works; reprintings or translations of classics
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