Un théorème de compacité. (French) Zbl 0195.13002

Aubin, Jean-Pierre

C. R. Acad. Sci., Paris 256, 5042-5044 (1963).

Introduction: Donnons-nous deux espaces de Banach \(A_0\) et \(A_n\), \(A_0\subset A_n\) avec une topologie plus fine. Soit \(W\) l’espace des (classes de) fonctions \(u\in L^{p_0}(0,T;A_0)\) avec \(D^m u\in L^{p_n}(0,T;A_n)\) \((1 <p_0, p_n\le \infty\), la dérivée d’ordre \(m\) est prise au sens de distributions), muni de la norme \[ \Vert u\Vert_W = \max \left[ \Vert u\Vert_{L^{p_0}(A_0)}, \Vert D^mu\Vert_{L^{p_n}(A_n)}\right]\,. \] Lemme: Supposons l’injection de \(A_0\) dans \(A_n\) compacte. Si \(0\le j \le m-1\), l’application \(D^j\) est compacte de \(W\) dans \(C(0,T;A_n)\).
Soit \(B\) un espace avec \(A_0\subset B\subset A_n\). Théorème 1: Supposons l’application \(D^j\) définie et continue de \(W\) dans \(L^p(B)\), \(j\) fixé, \(0\le j \le m-1\). Si \(\hat B\) est tel que \(B\subset \hat B\subset A_n\), l’injection de \(B\) dans étant compacte, alors \(D^j\) est une application compacte de \(W\) dans \(L^p(B)\).

MSC:

46-XX

Functional analysis

Keywords:

functional analysis