Erdős, Pál; Hajnal, András Some remarks on set theory. IX: Combinatorial problems in measure theory and set theory. (English) Zbl 0199.02302 Mich. Math. J. 11, 1O7-127 (1964). Im Folgenden seien stets \(m\) und \(n\) Kardinalzahlen, \(k\) eine natürliche Zahl, \(u\) eine reelle Zahl des Intervalls \([0,1]\). Die Menge aller \(k\)-elementigen Teilmengen einer Menge \(S\) werde mit \([S]^k\) bezeichnet. Dann bedeute \((m,k,u) \to n\) folgendes: Ist \(|S| = m\) und \(F\) eine Funktion, die jeder Menge \(X\) aus \([S]^k\) eine meßbare Teilmenge \(F(X) \subset [0,1]\) vom Maß \(\geq u\) zugeordnet, dann hat \(S\) eine Teilmenge \(S'\) mit \([S']=n\), so daß \(\bigcap \{F(X) \mid X \in [S']^k\} \neq \emptyset\) ist. Entsprechend definiert man \((m,k>u) = n\), indem man oben nur \(\geq u\) durch \(>u\) ersetzt. Diese Partitionsbeziehungen werden hier für \(k = 2\) untersucht. Typische Resultate sind: Theorem 1: \(r\) sei eine natürliche Zahl \(\geq 2\). Dann gilt \((\aleph_0,2,u) \to r+1\) genau dann, wenn \(u > 1-1/r\) ist. Theorem 10: Ist \(u>0\) und \(m>\aleph_0\), dann gilt \((m,2,u) \to \aleph_0\). Theorem 11 (mit KH): \((\aleph_2,2,>0) \to \aleph_0\). Theorem 12 (mit KH): Wenn \(m = \aleph_{\alpha +1}\) und \(cf(\alpha)>1\) ist, dann gilt \((m,2,>0) \to \aleph_{\alpha}\). In der zweiten Hälfte der Arbeit werden auch einige abstraktere Ergebnisse gebracht, unter anderem ein sehr kurzer Beweis des Satzes von W.T.Tutte [Am. Math. Mon. 61, 352-353 (1954; Zbl 0311.05110)], daß es zu jeder natürlichen Zahl \(n\) einen endlichen Graphen der Färbungszahl \(n\) gibt, der jedoch kein Dreieck enthält. Ferner: Ist \(n\) unendliche Kardinalzahl, \(k\) natürliche Zahl, dann gibt es einen Graphen der Färbungszahl \(\geq n\), der keinen Kreis der Länge \(2i+1\) hat für \(1 \leq i \leq k\). Reviewer: E.Harzheim Page: −5 −4 −3 −2 −1 ±0 +1 +2 +3 +4 +5 Show Scanned Page Cited in 11 Documents MSC: 05D10 Ramsey theory 05C15 Coloring of graphs and hypergraphs 03E05 Other combinatorial set theory Keywords:set theory Citations:Zbl 0311.05110 PDFBibTeX XML