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Ueber ternäre Formen dritten Grades. (German) JFM 02.0061.02

Sämmtliche zu \[ f=(a_1 x_1 +a_2 x_2 +a_3 x_3)^n=a^n_x =b^n_x =\cdots =\alpha^n_x \] “gehörigen Formen” (Covar., Invar., zugehörige Formen, Zwischenformen) sind als symbolische Producte \[ P=a_x b_x c_x \ldots (abu) (acu) (bcu) \ldots (abc) (abd) (acd) \ldots \] darstellbar. \((pqr)\) ist hier \(=\sum \pm p_1 q_2 r_3\), und \(u_1, u_2, u_3\) sind zu \(x_1, x_2, x_3\) contragredient. Die Anzahl der \(a_x, b_x, \ldots\) heisse Grad, die Anzahl der \((abu), (acu) \ldots \) Classe, die der \(a, b, c \ldots \) Ordnung, die Summe von Grad und Classe der Rang von \(P.\) – Ersetzt man in solchem symbolischen Producte \(F\) von der Ordnung \(m-1\), \(\lambda\) Factoren \(a_x, b_x, c_x \ldots \) durch \((a \alpha u), (b \alpha u) \dots,\) ferner \(\kappa\) Factoren \((abu), (acu) \ldots \) durch \((ab\alpha), (ac\alpha) \dots\) und multiplicirt die neue Form mit \(\alpha^{n-\kappa-\lambda}_x\), so erhält man “mittels einer Combination, welche die Moduln \(\kappa\) und \(\lambda\) besitzt,” eine \(P\) der Ordnung \(m\). Umgekehrt kann man alle Producte \(P\) aus Producten \(F\) ableiten und weiter rückwärts zu denen der \(m-2^{\text{ten}}, m-3^{\text{ten}}, \dots\) Ordnung gehen. Die Modularsysteme \((\kappa, \lambda),\) bei denen \(\kappa +\lambda \leqq n\) sein muss, seien so geordnet, dass \((\kappa', \lambda')\) dem \((\kappa'', \lambda'')\) als niedriger voransteht, wenn \(\kappa' + \lambda' < \kappa'' + \lambda''\) oder \(\kappa' + \lambda' = \kappa'' + \lambda''\); \(\kappa'< \kappa''\) ist. Die Formen \(m^{\text{ter}}\) Ordnung werden so geordnet, dass zuerst die Formen niederen Ranges, unter denen gleichen Ranges zuerst die niederen Modularsystems stehen, durch welche die \(P\) aus den \(F\) abgeleitet sind. Die in dieser Anordnung früher auftretenden Formen heissen frühere, die von gleichem Rang und gleichen \((\kappa, \lambda)\) gleichzeitige. Da aber die Differenz zweier Formen \(\varphi_1\) und \(\varphi_2\), welche aus \(F\) mittels der Combinationen \(A_1\) und \(A_2\) von gleichen Moduln entstehen, eine lineare Function \(\varphi_1 - \varphi_2 = \sum_i L_i \psi_i\) früherer Formen \(\psi\) derselben Ordnung ist, deren Coefficienten \(L\) die Variabeln \(u\) und \(x\) nur in der Verbindung \(u_x\) enthalten, so folgt, dass von gleichzeitigen Formen nur Eine beibehalten zu werden braucht, wenn man ihr Aggregate früherer Formen hinzufügen kann. Bezeichnet man also den Uebergang von \(F=\varrho^p_x u^q_\sigma \) (Grad \(p\), Classe \(q\)) in \(\psi = \varrho^{p-\lambda}_x u^{q-\kappa}_\sigma (\sigma \alpha u)^\lambda \alpha^\kappa_\sigma \alpha^{u-\kappa -\lambda}_x \) als “Uebereinanderschiebung, welche die Moduln \(\kappa, \lambda\) besitzt,” so ergiebt sich, dass alle Formen \(\varphi\) von der \(m^{\text{ten}}\) Ordnung als Aggregate \[ \psi + \sum L \psi'+\sum LM\psi'' \] darstellbar sind, wenn \(\psi' \psi''\) frühere durch Uebereinanderschiebung entstandene Formen bedeuten. Nennen wir volles System von Formen der Ordnung \(m\) ein solches, durch welches alle Formen \(\varphi\) sich linear ausdrücken lassen, so bilden die \(\psi\) ein volles. Es brauchen die Uebereinanderschiebungen hierbei nicht auf alle Formen \(F\) der \(m-1^{\text{ten}}\) Ordnung angewendet zu werden, sondern nur auf volle Systeme \(m-1^{\text{ter}}\) Ordnung; ja man kann auf ein volles System \(m-1^{\text{ter}}\) Ordnung sogar beliebige Combinationen anwenden, um auf ein volles System \(m^{\text{ter}}\) Ordnung zu kommen, wenn nur jedem Modularsysteme Eine und nur Eine Combination entspricht. –
Ein System \(\vartheta_1, \vartheta_2, \vartheta_3 \dots\,\) heisst ein vollständiges, wenn alle Formen von \(f\) ganze Functionen der \(\vartheta\) mit numerischen Coefficienten sind. Bildet man nun mit Hülfe eines der eben characterisirten Combinationssysteme die zu \(\vartheta\) und den Producten und Potenzen der \(\vartheta\) gehörigen Formen, und sind alle diese ganze Functionen der \(\vartheta\), so ist dies ein hinreichendes Zeichen, dass die \(\vartheta\) ein vollständiges System bilden. Die Anzahl der Producte und Potenzen ist zwar unendlich gross, es lässt sich aber leicht ein endliches System derselben absondern, auf welches allein jener Nachweis der Darstellbarkeit angewendet zu werden braucht. Für ternäre cubische Formen wird dann ein System von 34 Formen \(\vartheta\) aufgestellt, und der Nachweis der Vollständigkeit geliefert.

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