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On the problem of projectivity and its application on quadratic surfaces. (Das Problem der Projectivität und seine Anwendung auf die Flächen zweiten Grades.) (German) JFM 02.0428.02
Das Problem der Projectivität ist folgendes: Zu zwei Gruppen von einer gleichen Anzahl Punkte einer Ebene zwei zu einander gehörige (correspondirende) Punkte zu finden, welche resp. mit den Punktender einen und der andern Gruppe verbunden entsprechenden Strahlen von zwei projectivischen Strahlenbüscheln liefern.
Sind nun zwei Gruppen von je vier Punkten gegeben, so correspondirt jeder Punkt eines Kegelschnitts durch die vier Punkte der einen Gruppe allen Punkten des analogen Kegelschnitts durch die vier Punkte der andern Gruppe. (Der analoge Kegelschnitt ist nämlich jener, dessen Punkte mit den vier Puntken der zweiten Gruppe dasselbe anharmonische Verhältniss umfassen, wie irgend ein Punkt des ersten Kegelschnitts mit den vier Punkten der ersten Gruppe.)
Sind ferner zwei Gruppen von je fünf Punkten gegeben, deren Punkte einander als homologe zugeordnet sind, so giebt es im Allgemeinen für jeden Punkt ihrer Ebene, wenn man ihn mit der einen Gruppe zusammenstellt, nur einen correspondirenden. Aber: Jedem Punkte der einen Gruppe correspondiren, wenn er derselben zugeordnet wird, unendlich viele Punkte, die auf einem Kegelschnitte liegen, dessen Punkte mit den vier Punkten der andern Gruppe, die jenem nicht homolog sind, dasselbe anharmonische Verhältniss umfassen, wie der Punkt mit den vier übrigen Punkten seiner Gruppe. Ausserdem giebt es für jede Gruppe noch einen Punkte (der sogenannte verbundene Punkt), der allen Punkten des Kegelschnitts correspondirt, den die fünf Punkte der andern Gruppe erzeugen. Er liegt auf den correspondirenden Kegelschnitten dieser fünf Punkte.
Man dent sich nun irgend einen Punkt der Ebene, während er der einen Gruppe zugeordnet ist, eine Gerade durchlaufen, so durchläuft der correspondirende Punkt der andern Gruppe eine Curve fünfter Ordnung mit 6 Doppelpunkten, nämlich den 5 gegebenen und dem \(6^{\text{ten}}\) verbundenen der andern Gruppe. Die Ordnung der Curve erniedrigt sich, wenn die genannte Gerade durch einen, noch weiter, wenn sie durch zwei Hauptpunkte der ersten Gruppe geht.
Hat man 2 Gruppen von je 6 Punkten, so giebt es nicht mehr für jeden beliebigen Punkt der Ebene, wenn er der ersten Gruppe zugeordnet wird, einen Correspondenten der zweiten Gruppe. Aber diejenigen Punkte der ersten Gruppe, die correspondirende der zweiten haben, liegen aufeiner Curve dritter Ordnung, und die letzteren dann gleichfalls auf einer solchen. par Hat man endlich 2 Gruppen von je 7 Punkten, die einander als homologe zugeordnet sind, so giebt es drei Paare corespondirender Punkte, die mit den beiden Gruppen verbunden projectivische Strahlbüschel liefern.
Die Anwendung auf Flächen zweiten Grades findet nun folgendermassen statt. Es seien 9 Punkte beliebig im Raume gegeben: \(P\), \(\Pi\), \({\mathfrak B}_1,{\mathfrak B}_2,{\mathfrak B}_3,{\mathfrak B}_4,{\mathfrak B}_5,{\mathfrak B}_6,{\mathfrak B}_7\). Aus zwei von ihnen \(P\) und \(\Pi\) werden die 7 übrigen auf eine beliebige Ebene \({\mathfrak E}\) projicirt. Die Projectionen aus \(P\) seien \(b_1 b_2..b_7\), die aus \(\Pi\) seien \(\beta_1\beta_2\dots\beta_7\). Der Punkt \({\mathfrak P}\), die welchem die Gerade \(P\Pi\) die Ebene \({\mathfrak E}\) trifft, liegt mit je 2 homologen Punkten aus den beiden Gruppen \((b_1b_2\dots b_7)\) und \(\beta_1\beta_2\dots \beta_7)\) in gerader Linie. Daher ist: \[ {\mathfrak P}(b_1b_2\dots b_7) \quad\text{proj.}\quad {\mathfrak P}(\beta_1\beta_2\dots \beta_7). \] \({\mathfrak P}\) repräsentirt demnach 2 zusammengefallene correspondirende Punkte in Bezug auf die beiden Gruppen, so dass nur noch die beiden anderen Paare \(p_0'\pi_0'\) und \(p_0^{\prime\prime}\) zu finden sind. Hat man eins derselben, so kann man die Geraden \(Pp_0'\) und \(\Pi\pi_0'\) zu Axen von Ebenenbüscheln nehmen, die derartig projectivisch sind, dass sich in ihnen die Ebenen \[ Pp_0'({\mathfrak B}_1{\mathfrak B}_2\dots{\mathfrak B}_7) \quad\text{und}\quad \Pi\pi_0'({\mathfrak B}_1{\mathfrak B}_2\dots{\mathfrak B}_7) \] entsprechen, und also eine Fläche zweiten Grades erzeugen, nämlich diejenige durch die 9 gegebenen Punkte. Der Verfasser giebt nun hier die Construction von \(p_0'\), \(p_0^{\prime\prime}\), \(\pi_0'\), \(\pi_0^{\prime\prime}\) an. Die beiden Punktenpaare \(p_0' \pi_0'\) und \(p_0^{\prime\prime} \pi_0^{\prime\prime}\) ergeben dieselbe Fläche zweiten Grades; aber bei dem einen Paare erhält man die durch \(P\) und \(\Pi\) gehenden Geraden aus der einen Geradenschaar der Fläche zu Axen der Ebenenbüschel, bei dem anderen Paare die durch \(P\) und \(\Pi\) gehenden Geraden aus der andern Geradenschaar. Die beiden Punkte \(p_0' p_0^{\prime\prime}\) (und gleichzeitig ebenso \(\pi_0' \pi_0^{\prime\prime}\)) sind zugleich reell oder imaginär. Im ersteren Fall erhält man ein einschaliges Huperboloid, im andern ein zweischaliges Hyperboloid oder ein Ellipsoid. Es folgt nun Näheres über die Construction dieser Flächen.
Durch die Annahme von nur 8 Punkten des Raumes geht der Verfaaser zur Betrachtung der Raumcurven vierter Ordnung und erster Species über, wendet hierauf das Frühere an und giebt unter Anderem die Construction der Tangenten der Raumcurve in jedem dieser 8 Punkte, durch die sie bestimmt ist.
Hierauf werden nur 7 Punkte des Raumes als gegeben angeonommen; diese bestimmen eine doppelt unendliche Schaar von Flächen zweiten Grades, welche alle durch einen associirten achten Punkt mit hindurchgehen. Es wird dies mit Hülfe des vorher Gegebenen nachgewiesen, und auch die Construction des \(8^{\text{ten}}\) Punktes gezeigt.
Es folgt nun noch eine längere Behandlung des Falles, in welchem nur 6 Punkte gegeben sind. Dann wird zu einem beliebigen \(7^{\text{ten}}\) der diesem und den 6 gegebenen associirte \(8^{\text{te}}\) Punkt gesucht. Der Verfasser giebt hier viele Sätze über den Ort des \(8^{\text{ten}}\) Punktes, wenn der \(7^{\text{te}}\) einen gegebenen Ort durchläuft.

MSC:
51M05 Euclidean geometries (general) and generalizations
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