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To the theory of single valued correspondences of algebraic varieties of arbitrary dimension. (Zur Theorie des eindeutigen Entsprechens algebraischer Gebilde von beliebig vielen Dimensionen.) (German) JFM 02.0619.01
In den C. R. 1868 hat Clebsch das Geschlecht \(p\) einer algebraischen Fläche \(n^{\text{ter}}\) Ordnung, die nur mit den gewöhnlichen Singularitäten behaftet ist, ohne Beweis mitgetheilt. (vgl. Fortschr. d. M. I. p. 234, JFM 01.0234.01). Dieser Satz wird in der vorliegenden Abhandlung auf Flächen mit höheren konischen Knotenpunkten und höheren vielfachen Curven, sodann auf algebraische Gebilde von beliebig vielen Dimensionen erweitert. Der Beweis dieses allgemeineren Theorems, das der Verfasser bereits in den Gött. Nachr. 1869 Nr. 15 mitgetheilt hatte, ist nach der von Clebschund Gordan in ihrer “Theorie d. Abel’schen Functionen” bei Curven angewandten Methode geführt. - Der Verfasser bespricht zuerst die singulären Stellen, die in zwei eindeutig einander entsprechenden algebraischen Gebilden von zwei und drei Dimensionen auftreten können. Diese Verhältnisse lassen sich mit Hilfe successiver Transformationen leicht übersehen. Wie a. a. O. werden sodann die für die, in den \(x\) homogene algebraische, irreducitible Gleichung \[ f(x_1,x_2, . . ., x_{r+2}) = 0 \] “normirten” Differentialausdrücke aufgestellt, deren Integrale allenthalben endlich bleiben. Dabei bleiben höhere Singularitäten von \(f=0\) ausgeschlossen. Die Anzahl \(p\) dieser Differentiale ist dann für zwei einander eindeutig entsprechende algebraische Gebilde von \(r\) Dimensionen dieselbe, womit das fogende Theorem beweisen ist:
“Das Geschlecht \(p\) der \(r\) fachen algebraischen Mannugfaltigkeit \(f=0\) ist gleich der Anzahl der in einer \(r\) fachen Mannigfaltigkeit vom Grade \(n-r-2, \varTheta=0\) noch unbestimmt bleibenden Constanten, wenn \(\varTheta=0\) gezwungen wird, durch jede \(\mu\) fache auf \(f=0\) liegende \(h\) fache Mannigfaltigkeit \((\mu-r+h)\) fach hindurchzugehen. Für \(\mu +h \leqq r\) hat \(\varTheta\) kleiner Bedingung zu genügen. - Die Zahl \(p\) hat die Eigenschaft, für zwei \(r\) fache Mannigfaltigkeiten \(f=0\), \(F=0\), welche sich im Allgemeinen Punkt für Punkt eindeutig entsprechen, die gleiche zu sein, so dass \(p\) die Classenzahl ist für die Classe, zu der \(f=0\) und \(F=0\) gehören. Die Gleichheit der Zahl \(p\) ist das nothwendige (natürlich nicht hinreichende) Kriterium für die Möglichkeit einer eindeutigen rationalen Transformation zweier \(r\) fachen algebraischen Mannigfaltigkeiten in einander”.
NB. Die \(r\) fache Mannigfaltigkeit bezieht sich hier immer auf \(r\) von einander unabhängige complexe Veränderliche.

MSC:
14E05 Rational and birational maps
14E15 Global theory and resolution of singularities (algebro-geometric aspects)
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