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On the fractional parts of the powers of a rational number. II. (English) Zbl 0208.31002
Verf. hat in Teil I [Acta Arith. 3, 89–93 (1938; Zbl 0019.25004)] folgenden Satz bewiesen:
Satz 1: \(u\) und \(v\) seien teilerfremde ganze Zahlen \(u>v\geq 2\) und \(\varepsilon\) bezeichne eine beliebige positive Zahl; nehmen wir an, daß die Ungleichung
\[ | (u/v)^n -[(u/v)^n]| <e^{-\varepsilon n} \tag{1} \] für eine unendliche Folge \(n_1, n_2,\dots\) von natürlichen \(n\)-Werten befriedigt wird. Dann gilt \(\lim_{k\to\infty} (n_{k+1}/n_k)=\infty\).
Verf. zeigt, daß man unter Verwendung der Methode von K. F. Roth [Mathematika 2, 1–20 (1955; Zbl 0064.28501); corrigendum ibid. 2, 168 (1955)] ein verschärftes Resultat erhalten kann:
Satz 2: \(u\), \(v\) und \(\varepsilon\) mögen den Bedingungen des Satzes 1 genügen. Dann gilt Ungleichung (1) für höchstens eine endliche Zahl von natürlichen \(n\)-Werten. Den Beweis des Satzes 2 leitet Verf. aus dem Satz von D. Ridout ab [Mathematika 4, 125–131 (1957; Zbl 0079.27401)]

MSC:
11J54 Small fractional parts of polynomials and generalizations
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References:
[1] Schneider, J. für die reine und angew. Math 188 pp 115– (1950)
[2] Schneider, J. für die reine und angew. Math 175 pp 182– (1936)
[3] Roth, Mathematika 2 pp 1– (1955)
[4] Hardy, Introduction to the Theory of Numbers (1954) · Zbl 0058.03301
[5] Mahler, Proc. K. Akad. Wet. Amsterdam 39 pp 633– (1936)
[6] Mahler, Acta Arithmetical 3 pp 89– (1938)
[7] Ridout, Mathematika 4 pp 125– (1957)
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