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The collected papers of Gerhard Gentzen. (English) Zbl 0209.30001
Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Amsterdam-London: North-Holland Publishing Company. xii, 338 p. (1969).
Es ist sehr erfreulich, daß mit diesem Buch die folgenden für die Mathematik und insbesondere die mathematische Logik so fundamentalen Arbeiten von Gerhard Gentzen in englischer Sprache vorgelegt werden:
1.) Über die Existenz unabhängiger Axiomensysteme zu unendlichen Satzsystemen [Math. Ann. 107, 329–350 (1932; Zbl 0005.33803; JFM 58.0063.03)].
2.) Über das Verhältnis zwischen intuitionistischer und klassischer Arithmetik. (Bisher unveröffentlicht).
Hauptresultat: Die klassische Arithmetik ist konsistent, wenn es die intuitionistische ist; vgl. K. Gödel [Erg. Math. Kolloqu. 4, 34–38 (1933; Zbl 0007.19304)].)
3.) Investigations into logical deduction. I, II (Untersuchungen über das logische Schließen. I, II [Math. Z. 39, 176–210 (1934; Zbl 0010.14501; JFM 60.0020.02); 39, 405–431 (1934; Zbl 0010.14601; JFM 60.0846.01)].
[French, Russian, Japanese translations: Recherches sur la déduction logique. Traduction et commentaire par R. Feys et J. Ladrière. Paris: Presses Universitaires de France. xi,170 p. (1955); Мoskau, 9-74 (1967); Translated from the German by S. Tamura. J. Fac. Liberal Arts Yamaguchi Univ. Natur. Sci. 12, 1–20 (1978); 13, 21–40 (1979).
Unveränderter reprografischer Nachdruck aus Math. Z. Libelli, Band 275. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft. ii, 62 S. (1969). Anm. Red.]
(Diese Dissertation von Gentzen nahm K. Schröter [Z. Math. Logik Grundlagen Math. 1, 37–86 (1955; Zbl 0064.00702)] zum Anlaß, den Begriff des Gentzenschen Folgerns einzuführen und damit das Bolzanosche Folgern zu charakterisieren.)
4.) The consistency of arithmetics. (Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie.) [Math. Ann. 112, 493–565 (1936; Zbl 0014.38801; JFM 62.0044.01)].
[Unveränderter reprographischer Nachdruck. Libelli. Band 185\(^*\). Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft. ii, 73 p. (1967; Zbl 0169.30801); Russische Übersetzung: Moskau, 77–153 (1967). Anm. Red.]
(Ein Anhang bringt in englischsprachiger Übersetzung die in dieser Arbeit abgeänderten Teile der Erstfassung. Auf diese Erstfassung bezieht sich auch P. Bernays [Intuitionism Proof Theory, Proc. Summer Conf. Buffalo N. Y. 1968, 409–417 (1970; Zbl 0204.30902)].)
5.) Die Widerspruchsfreiheit der Stufenlogik [Math. Z. 41, 357-366 (1936; Zbl 0015.19302; JFM 62.0043.02)].
6.) Der Unendlichkeitsbegriff in der Mathematik [JSemester-Ber., Math. Semin. Münster, 9, 65–80 (1937; FM 63.0021.03)].
7.) Die gegenwärtige Lage in der mathematischen Grundlagenforschung [Forschung zur Logik und zur Grundlegung der exakten Wissenschaften. Neue Folge. Heft 4. Leipzig: S. Hirzel, 5–18 (1938; Zbl 0019.24102; JFM 64.0931.01), auch in: Deutsche Math. 3, 255–268 (1939; Zbl 0019.09701; JFM 64.0026.03)].
8.) Neue Fassung des Widerspruchsfreiheitsbeweises für die reine Zahlentheorie [Forschung zur Logik und zur Grundlegung der exakten Wissenschaften. Neue Folge. Heft 4. Leipzig: S. Hirzel, 19–44 (1938; Zbl 0019.24103; JFM 64.0027.03)].
9.) Beweisbarkeit und Unbeweisbarkeit von Anfangsfällen der transfiniten Induktion in der reinen Zahlentheorie [Math. Ann. 119, 140–161 (1943; Zbl 0028.10201)] (Habilitationsschrift Göttingen).
10.) Zusammenfassung von mehreren vollständigen Induktionen zu einer einzigen [Arch. Math. Logik Grundlagenforsch. 2, 1–3 (1954; Zbl 0055.00504)].
Außer diesen 10 Beiträgen von Gentzen findet man in dem Buch eine kurze Biographie Gentzens und eine sehr gute und umfassende (durch viele Literaturangaben belegte) Einschätzung der Leistungen von Gentzen für die weitere Entwicklung der Metamathematik und der mathematischen Logik.

MSC:
01A75 Collected or selected works; reprintings or translations of classics
00B55 Collections of translated articles of miscellaneous specific interest
03-06 Proceedings, conferences, collections, etc. pertaining to mathematical logic and foundations
03-03 History of mathematical logic and foundations