×

zbMATH — the first resource for mathematics

Siegel’s modular forms and Dirichlet series. Course given at the University of Maryland, 1969-1970. (English) Zbl 0224.10028
Lecture Notes in Mathematics. 216. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. 328 p. DM 20.00; $ 5.50 (1971).
In der Einleitung schreibt der Autor: “The choice of the subject was mainly determined by my intention to show how Atle Selberg makes fascinating use of differential operators in order to prove certain functional equations. ...Since Selberg never published his idea, it might be of some value for the mathematical community to make available to a wider public the methods which were originally conceived by Selberg a long time ago.”
Dem ist hinzuzufügen, daß ein großer Teil des Stoffes dieser Vorlesungen – mehr als man aufgrund des obigen Zitats annehmen möchte – auf Forschungsergebnissen des Verf. beruht. Manche der Ergebnisse sind hier überhaupt zum ersten Mal publiziert. Es ist das Verdienst dieser Vorlesungen, zum ersten Mal einen einfachen Zugang zu den behandelten Theorien zu geben. Es folgt eine (sehr lückenhafte) Inhaltsangabe.
§5. Es sei \(\mathfrak S\) ein Riemannscher Raum, \(G\) eine lokal kompakte, auf \(\mathfrak S\) transitive Gruppe von Isometrien von \(\mathfrak S\), und es sei \(\mu\) eine Isometrie von \(\mathfrak S\). Man nennt \(\mathfrak S\) einen schwach symmetrischen Riemannschen Raum bezüglich \(G\) und \(\mu\), wenn \(\mu G\mu^{-1} = G\) und \(\mu^2\in G\) ist und zu jedem Paar \(x,y\in \mathfrak S\) ein \(m\in G\) existiert mit \(mx = \mu y\) und \(my=\mu x\). Ein Differentialoperator \(L\) auf \(\mathfrak S\) heißt invariant bezüglich \(G\), wenn \((Lf)\circ m=L(f \circ m)\) für alle \(m\in G\) und alle differenzierbaren Funktionen \(f\) auf \(\mathfrak S\) ist. Der Ring \(\mathcal L\) der invarianten Differentialoperatoren auf \(\mathfrak S\) ist kommutativ. Zu jedem \(L\in\mathcal L\) existiert genau ein adjungierter Operator \(\hat L\in \mathcal L\) [A. Selberg, J. Indian Math. Soc., N. Ser. 20, 47–87 (1956; Zbl 0072.08201)].
§6. Der Raum \(\mathfrak S\) der \(n\)-reihigen reellen symmetrischen positiven Matrizen \(Y\) ist ein schwach symmetrischer Riemannscher Raum bezüglich der allgemeinen linearen Gruppe \(\mathrm{GL}(n,\mathbb R)\) und der Isometrie \(\mu\colon Y\to Y^{-1}\). Der Ring \(\mathcal L\) der invarianten Differentialoperatoren auf \(\mathfrak S\) ist ein Polynomring in \(n\) Variablen über \(\mathbb C\). Eine Basis von \(\mathcal L\) bilden die Operatoren \[ \sigma\left(\left(Y\frac{\partial}{\partial Y}\right)^h\right),\qquad h=1,\ldots, n.\] Wichtig ist der Operator \[ M_n= \vert Y\vert \left\vert \frac{\partial}{\partial Y}\right\vert \in \mathcal L. \]
§7. In Verallgemeinerung des Gamma-Integrals und in Verallgemeinerung gewisser in §6 berechneter Integrale werden Integrale der Art \[ \int_{Y>0} e^{-\sigma(YX^{-1})} \vert Y\vert^s u(Y)\,dv \] ausgerechnet. Dabei ist \(X>0\), \(s\) eine komplexe Zahl und \(u\) eine Eigenfunktion von \(\mathcal L\) die homogen vom Grade 0 ist und deren partielle Ableitungen gewissen Ungleichungen genügen, welche das Verschwinden von Randintegralen beim Übergang zum adjungierten Operator garantieren.
§10. Eine Funktion \(u\) auf \(\mathfrak S\) heißt ein Größencharakter quadratischer Formen, wenn sie außer den in §7 genannten Bedingungen noch \(u(U'YU) = u(Y)\) für alle unimodularen \(U\) erfüllt. Solche Größencharaktere werden konstruiert, insbesondere ist die von Selberg eingeführte Eisensteinreihe der unimodularen Gruppe ein Größencharakter.
§15. Es sei \(f\) eine Modulform \(n\)-ten Grades vom Gewicht \(k\) mit Fourierkoeffizienten \(a(T)\) für halbganze \(T\ge 0\). Nach dem Vorbild von Hecke ordnet man \(f\) die Dirichletreihen \[ D(s,u) = \sum_{\{T\}} \frac{a(T) u(T)}{\varepsilon(T) \vert T\vert^s} \] zu; dabei ist \(u\) ein Größencharakter, \(\varepsilon(T)\) die Anzahl der unimodularen \(U\) mit \(U'TU=T\), und es wird über ein Vertretersystem der Klassen \(\{U'TU\vert U\) unimodular\(\}\) mit \(T>0\) summiert. Wenn man die analytischen Eigenschaften und die Funktionalgleichung von \(D(s,u)\) auf dem üblichen Weg [siehe z.B. A. Ogg, Modular forms and Dirichlet series. New York etc.: W. A. Benjamin (1969; Zbl 0191.38101)] gewinnen will, so verursachen die singulären \(T\) unüberwindliche Schwierigkeiten. Aufgrund der einfachen Regel \[ \left\vert \frac{\partial}{\partial Y}\right\vert e^{-2\pi\sigma(TY)} = \vert -2\pi T\vert e^{-2\pi\sigma(TY)}\] können diese singulären \(T\) durch Anwendung des invarianten Operators \(P_k= \vert Y\vert^{-k} \hat M_n \vert Y\vert^k M_n\)y, eliminiert werden. Man definiert deshalb \(h(Y)=P_kf(iY)\) und \[ \eta(s,u) = \int h(Y) \vert Y\vert^s u(Y)\,dv, \] wobei über den Minkowskischen Bereich der reduzierten positiven Matrizen integriert wird, und man gewinnt analog zum klassischen Fall \(n=1\) eine Integraldarstellung für \(\eta(s,u)\), welche die analytische Fortsetzung und die Funktionalgleichung liefert.
§16. Mit denselben Methoden werden die analytische Fortsetzung und die Funktionalgleichung für Zetafunktionen zu positiven quadratischen Formen gewonnen. Gegenüber früheren Arbeiten [Verf., Math. Ann. 134, 1–32 (1957; Zbl 0082.06601); Math. Ann. 135, 391–416 (1958; Zbl 0083.06001)] ergeben sich erhebliche Verallgemeinerungen und Vereinfachungen. Nach einer Methode von C. L. Siegel [Math. Ann. 137, 427–432 (1959; Zbl 0091.02902)] wird das Residuum dieser Zetafunktionen bestimmt.
In §17 werden ähnliche Ergebnisse für die Selbergsche Zetafunktion und für die mit allgemeineren Größencharakteren gebildeten Zetafunktionen gewonnen. Eine gute Übersicht gibt ein Vortrag des Verf. [Several complex Variables I, Conf. Univ. Maryland 1970, Lect. Notes Math. 155, 122–131 (1970; Zbl 0198.11401)].
In §18 und §19 werden nicht-analytische Eisensteinreihen eingeführt [Verf., Math. Scand. 17, 41–55 (1965; Zbl 0141.08901)] und die zahlentheoretische Untersuchung ihrer Fourierkoeffizienten und die Zuordnung von Dirichletreihen in Angriff genommen.
In §20 wird skizziert, wie man die Theorie auf Positivitätsbereiche über dem komplexen Zahlkörper und über dem Quaternionenkörper übertragen kann.
Die Lektüre erfordert keine speziellen Vorkenntnisse (abgesehen von §5, wo etwas Riemannsche Geometrie nützlich ist), so daß das Buch auch als Einführung in die Theorie der Modulformen mehrerer Variabler dienen und (zur Zeit mit Erfolg in einem Freiburger Seminar) durchgenommen werden kann. Selbstverständlich ist der Text so knapp, daß dem Leser viel Eigenarbeit bleibt.
Zum Schluß sei auf drei schwierige Stellen hingewiesen. Auf S. 55 (Kompaktheit des Stabilisators) wäre ein Hinweis auf S. Helgason [Differential geometry and symmetric spaces. New York etc: Academic Press (1962; Zbl 0111.18101), S. 167f.] nützlich. Auf S. 56 erscheint mir die Behauptung \(k\in C^\infty(\mathfrak S\times\mathfrak S)\) unbegründet; in den weiterhin nur benötigten Beispielen (§6, §8) kann man diese Lücke leicht schließen. Auf S. 74 wird stillschweigend eine nicht eben triviale Operatorenidentität benutzt, die erst viel später (S. 310) formuliert wird.
Reviewer: Günter Köhler

MSC:
11F66 Langlands \(L\)-functions; one variable Dirichlet series and functional equations
11F46 Siegel modular groups; Siegel and Hilbert-Siegel modular and automorphic forms
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11F60 Hecke-Petersson operators, differential operators (several variables)
Full Text: DOI