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Linear and quasilinear equations of elliptic type. 2nd revised ed. (Линейные и квазилинейные уравнения ѐллиптического типа.) (Russian) Zbl 0269.35029
Moskva: Izdat. ”Nauka”. 576 p. R. 2.50 (1973).
Die zweite Auflage dieses Buches stellt eine umgearbeitete und erweiterte Fassung dar, und es wurde Wert darauf gelegt, die Ergebnisse dem neuesten Stand anzupassen. Die Erweiterungen gegenüber der ersten Auflage (1964; Zbl 0143.33602) betreffen: par Kapitel II, §5 ist erweitert um die Funktionenklasse \(A\). §9 ist neu und betrachtet die Klassen \(\tilde B_n^N\).
Kapitel III. Die §§16, 17, 18 sind neu und behandeln die Ritz-Galerkinsche Methode, das Differenzenverfahren und die Zerlegung in Eigenfunktionen. In §13 findet man zusätzlich Abschätzungen integraler Normen.
Kapitel IV. Die in den 60er Jahren entwickelte “direkte” Methode für quasilineare Gleichungen findet ihren Niederschlag in §9, und in §10 werden die neuen Resultate mit Resultaten verglichen, die man mit anderen Methoden erhalten hat.
Kapitel V. Die §§1–3 sind neu gefaßt, und §7 über Variationsprobleme von quasiregulären Funktionalen der Form \(\int_{\Omega}F(\nabla u)\,dx\) ist neu.
In der jetzigen Neufassung von Kapitel VI sind die Abschätzungen von \(\max_{\Omega}| \nabla u|\) einfacher hergeleitet, da \(u\) im Gegensatz zur ersten Auflage als klassische Lösung vorausgesetzt wird. Es zeigt sich, daß diese Abschätzungen auch für weitere Klassen von nicht gleichmäßig elliptischen Gleichungen gültig sind.
Auch in Kapitel IV wurden die Abschätzungen von \(\max_{\Omega}| \nabla u|\) vereinfacht, und man findet in Kapitel IV und VI jetzt zusätzlich lokale Abschätzungen von \(| \nabla u|\).
In der 1. Auflage wurden entartete Gleichungen nicht behandelt, obgleich die Mittel dafür bereitstanden; dies ist in der 2. Auflage nachgeholt worden, siehe Kapitel V, §7 und Kapitel VIII, §6.
In Kapitel IX, §5 findet man die Herleitung (nach Moser) der Harnackschen Ungleichung für lineare Gleichungen mit unstetigen Koeffizienten. In Kapitel X ist das grundlegende Resultat über die Lösbarkeit von quasilinearen Gleichungen unter nichtlinearen Randbedingungen verstärkt worden; so wurde u.a. die Voraussetzung, daß diese Aufgabe höchstens eine Lösung besitzt, aufgehoben.
Reviewer: Josef Wloka

MSC:
35-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to partial differential equations
35J60 Nonlinear elliptic equations
35J15 Second-order elliptic equations