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Congruences between class numbers of quadratic number fields. (Kongruenzen zwischen Klassenzahlen quadratischer Zahlkörper.) (German) Zbl 0335.12008

Summary: Der Zusammenhang zwischen den Klassenzahlen der quadratischen Körper mit den Diskriminanten \(D\) und \(-3D\) ist bereits mehrfach in Arbeiten von A. Scholz [J. Reine Angew. Math. 166, 201–203 (1932; Zbl 0004.05104; JFM 58.0181.05)], C. S. Herz [in: Seminar on Complex Multiplication, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 21. Berlin: Springer-Verlag (1966; Zbl 0147.03902)], N. C. Ankeny, E. Artin and S. Chowla [Ann. Math. (2) 56, 479–493 (1952; Zbl 0049.30605)] untersucht worden. Alle diese Resultate beziehen sich auf die Teilbarkeit durch 3 der beiden Klassenzahlen. Ähnliche Untersuchungen über die Beziehung zwischen den Klassenzahlen der Körper \(\mathbb Q(\sqrt D)\) und \(\mathbb Q(\sqrt{-4D})\) sind in den Arbeiten des zweiten Autors [J. Reine Angew. Math. 262-263, 120–133 (1973; Zbl 0285.12015), ibid. 270, 195–212 (1974; Zbl 0293.12007)] durchgeführt worden.
In der vorliegenden Arbeit werden nun allgemein Kongruenzen zwischen den Klassenzahlen von \(\mathbb Q(\sqrt D)\), \(D > 0\), und \(\mathbb Q(\sqrt{D_0D})\) für eine beliebige negative Diskriminante \(D_0\) hergeleitet. Der Ausgangspunkt ist dabei ähnlich wie in den oben zitierten Arbeiten eine Klassenzahlformel von Dirichlet-Kronecker-Meyer sowie eine daraus nach einer Methode von Stark abgeleitete Klassenzahlformel. Die erstgenannte Klassenzahlformel kommt dadurch zustande, daß man den Körper \(\mathbb Q(\sqrt D, \sqrt{D_0})\) einmal als Kreiskörper und zum anderen als relativabelsche Erweiterung des reell-quadratischen Körpers \(\mathbb Q(\sqrt D)\) auffaßt. Die in den Klassenzahlformeln auftretenden Klasseninvarianten sind rationale Zahlen. Aus der arithmetischen Struktur dieser Invarianten, die abgesehen von einer Ergänzung in Abschnitt 2 bereits vom ersten Autor in [J. Reine Angew. Math. 262-263, 18–40 (1973; Zbl 0285.12013)] untersucht worden ist, lassen sich neuartige Kongruenzen zwischen den Klassenzahlen quadratischer Körper herleiten. Als Folgerung aus diesen Kongruenzen ergeben sich erneut einige der mittels komplexer Multiplikation bewiesenen Teilbarkeitsaussagen aus den zitierten Arbeiten von Schertz, sowie ein großer Teil der Resultate in den zitierten Arbeiten von Ankeny, Artin and Chowla, Herz, Scholz.

MSC:

11R29 Class numbers, class groups, discriminants
11R11 Quadratic extensions
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References:

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