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Ueber Complexe, insbesondere Linien- und Kugel-Complexe, mit Anwendung auf die Theorie partieller Differentialgleichungen. (German) JFM 04.0408.01
Diese umfangreiche und ausserordentlich reichhaltige Abhandlung, die bestimmt scheint, der analytisch-geometrischen Speculation den Zugang zu neuen, wichtigen Gebieten zu eröffnen, kann gewissernaassen nur uneigentlich unter die liniengeometrischen Arbeiten aufgenommen werden. Denn so wesentlich sie auf liniengeometrischen Vorstellungen fusst und so wichtig ihre Resultate eben für Liniengeometrie sind, so hat sie doch darin wohl ihre eigentliche Bedeutung, dass sie es mit Erfolgt unternimmt, diese neueren geometrischen Anschauungen für anderweitige Gebiete zu verwerthen.
Herr Lie geht von der Betrachtung von dreifach unendlich vielen Curven im Raume aus, deren Inbegriff er, im Anschluss an die in der Liniengeometrie übliche Terminologie, einen Curven-Complex nennt. Ein solcher Curven-Complex führt ein gewisses Integrationsproblem mit sich, das in einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung zwischen drei Variabeln seinen analytischen Ausdruck findet. Die Curven des Complexes nämlich, welche durch einen Punkt gehen, erzeugen in demselben einen Kegel, und man kann verlangen, alle Flächen anzugeben, die in jedem ihrer Punkte den bez. Kegel berühren. Diese Flächen haben dann, wie Herr Lie zeigt, und darin liegt eine neue Interpretation partieller Differentialgleichungen erster Ordnung zwischen drei Variabeln überhaupt, die characteristische Eigenschaft, von den Curven des Complexes osculirt zu werden. Die Integralflächen eines Linien-Complexes insbesondere haben also die Linien desselben zu Haupttangenten.
Weiter entwickelt der Verfasser einen allgemeinen Begriff, der seither wohl in analytischen Untersuchungen (z. B. bei Jacobi) vorgekommen war, aber dem geometrischen Bewusstsein fern gelegen hatte, den Begriff der Berührungstransformation. Als solche wird jede Transformation definirt, die im Allgemeinen sich berührende Flächen in ebensolche überführt. Man hat drei Classen von Berührungstransformationen zu unterscheiden, je nachdem die Punkte (welche man dabei als zweifach unendliche Aggregate von Flächenelementen zu denken hat) wiederum in Punkte, oder in Curven, oder in Flächen übergehen. Die erste Classe deckt sich mit den gewöhnlichen Punkt-Transformationen; die dritte Classe entspricht der durch Plücker gegebenen Verallgemeinerung der dualistischen Umformungen des Raumes. Die zweite Classe aber ist etwas Neues: sie ordnet den Punkten des Raumes die Curven eines Complexes zu und setzt also die allgemeine Auffassung dessen, was ein Curven-Complex ist, voraus.
Ein besonderer Fall dieser Transformationen zweiter Classe, den Herr Lie näher untersucht, ist besonders merkwürdig. Er steht in genauester Beziehung zu der eindeutigen Abbildung des linearen Complexes auf den Punktraum, wie diese gelegentlich durch Nöther gegeben wurde (Gött. Nachr. 1869, siehe F. d. M. II. p. 202, JFM 02.0202.01), wenn man voraussetzt, dass der dabei auftretende fundamentale Kegelschnitt mit dem imaginären Kugelkreise coincidirt. Sie führt nämlich die geraden Linien des einen Raumes (resp. die Flächenelemente, welche sich an eine Gerade ansehliessen) in die Kugeln des anderen Raumes über (in die Flächenelemente, welche eine Kugel bedecken) und lässt sonach der Liniengeometrie eine Kugelgeometrie als etwas Coordinirtes entsprechen. Geraden Linien, die sich schneiden, sind Kugeln zugeordnet, die sich berühren. Es führt dies mit Leichtigkeit zu dem Theoreme: “dass den Haupttangentencurven der Flächen des einen Raumes die Krümmungscurven der Flächen des anderen Raumes entsprechen.” Als ein aus ihm fliessendes Resultat erscheint die Bestimmung der Haupttangenten-Curven der Kummerschen Fläche vierter Ordnung und vierter Classe mit 16 Knotenpunkten, von der bereits berichtet wurde (siehe F. d. M. II. p. 605, JFM 02.0605.01). Sie entspricht der Bestimmung der Krümmungscurven auf den Flächen vierter Ordnung, die den Kugelkreis doppelt enthelten, wie diese durch Darboux und Moutard gegeben worden war.
Beide Geometrieen: Linien- und Kugel-Geometrie bieten der Auschauung eigenartige Vortheile dar, und es ist nun Lie’s weiteres Bestreben, je nach dem Zwecke, den er verfolgt, zwischen ihnen abwechselnd; die Theorie partieller Differentialgleichungen mit drei Variabeln zu fördern.
Er beschäftigt sich zunächst mit drei Classen von partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, von denen die beiden ersten coordinirt erscheinen, während die dritte eine mehr particuläre Stellung einnimt. Die betreffenden Gleichungen sind dadurch ausgezeichnet dass die Monge’schen Characteristiken ihrer Integralflächen auf diesen bez. Haupttangenten-Curven, Krümungs-Curven und geodätische Curven sind. Es ist hier wohl nicht möglich, mit kurzen Worten die interessanten Beziehungen hervorzuheben, in denen diese Gleichungen zu den Grundvorstellungen der Linien- bez. Kugel-Geometrie stehen, oder die zahlreichen Berührungspunkte dieser Untersuchungen mit früheren Arbeiten Anderer hervorzuheben. Lie wendet sich weiterhin zu partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung und greift aus ihnen wiederum solche heraus, deren Characteristiken Haupttangenten- oder Krümmungs-Curven auf den Integralflächen sind. Es gelingt ihm, einen Einblick in die Bedeutung derselben zu gewinnen, und insbesondere alle diejenigen, welche ein, bezw. zwei erste Integrale besitzen, wirklich anzugeben. Die Gleichungen mit zwei ersten Integralen enthalten merkwürdigerweise keine willkürlichen Functionen mehr, sondern sind von völlig bestimmter Form.
Zum Schlusse wendet sich Lie noch insbesondere zur Theorie der Linien-Complexe und zeigt unter Anderem die Möglichkeit, die Integration des allgemeinen Complexes zweiten Grades auf Quadraturen hyperelliptischer Differentiale zurückzuführen. Siehe auch die Referate p. 161, JFM 04.0161.01, JFM 04.0161.02 und JFM 04.0161.03.

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