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Numerical analysis of spectral methods: Theory and applications. (English) Zbl 0412.65058
CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics. 26. Philadelphia, Pa.: SIAM, Society for Industrial and Applied Mathematics. v, 172 p. $ 12.25 (1977).
In der Monographie werden Galerkin-, Tau- und Collocationsverfahren für Anfangsrandwertaufgaben untersucht. Die Ansatzfunktionen für die vielen eindimensionalen Testprobleme hyperbolischer und parabolischer Art sind Eigenfunktionen von Sturm-Liouville-Aufgaben. Die Konvergenzuntersuchungen für die entstehendem semidiskreten Probleme werden für eindimensionale, lineare und autonome Anfangsrandwertaufgaben durchgeführt. Hierbei wird ausführlich dargestellt, daß für den Spezialfall semi-beschränkter Operatoren der dem Äquivalenzsatz von Lax zugrundegelegte Stabilitätsbegriff herangezogen werden kann, im allgemeinen Fall aber die schwächere algebraische Stabilität als sachgemäßer Stabilitätsbegriff für Spektralmethoden verwendet werden muss. Die schwächere Stabilität wird durch stärkere Konsistenzbedingungen kompensiert.
Für die zeitliche Diskretisierung der semidiskreten Probleme werden explizite und implizite Einschrittverfahren vorgeschlagen. Die abschließenden Kapitel behandelt die Implementierung der Spektralmethoden und den numerischen Vergleich mit anderen Verfahren, insbesondere Differenzenverfahren. Für das Verständnis der Monographie muß der Leser gute Grundkenntnisse bezüglich der numerischen Behandlung von Anfangswertaufgaben besitzen. Den Autoren ist es insbesondere gelungen, ihre großen praktischen Erfahrungen weiterzugeben.
Die numerischen Probleme bei der konkreten Problemlösung von Anfangsrandwertaufgaben, wie z. B. Gibbs-Phänomen, Phasenfehlern und Reflexion an Rändern werden ausführlich dargestellt. Die Monographie ist daher für solche Leser besonders empfehlenswert, die nicht primär an theoretischen Ergebnissen interessiert sind, sondern die Spektralmethode auf aktuelle Aufgaben anwenden wollen.
Reviewer: Horst Kreth

MSC:
65N35 Spectral, collocation and related methods for boundary value problems involving PDEs
65N30 Finite element, Rayleigh-Ritz and Galerkin methods for boundary value problems involving PDEs
65-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to numerical analysis
65M12 Stability and convergence of numerical methods for initial value and initial-boundary value problems involving PDEs