×

On the distribution of quadratic residues modulo a prime. (English) Zbl 0493.10006

Untersuchungen über Sequenzen von \(k\)-ten Potenzresten wurden schon mehrfach angestellt, etwa von D. H. Lehmer, E. Lehmer und W. H. Mills [Can. J. Math. 15, 172–177 (1963; Zbl 0106.26002)]. Verf. bringt nun für den Fall \(k=2\) (quadratische Reste) auf völlig elementare Art einige bemerkenswerte Resultate. Interessant sind dabei auch Verallgemeinerungen auf die total multiplikativen Funktionen auf der Menge der natürlichen Zahlen mit den Werten \(\pm 1\), also \(\lambda: \mathbb N\to [1,-1]\), \(\lambda(xy) = \lambda(x)\cdot\lambda(y)\). Als Hauptsatz wird angeführt:
Seien \(s\) und \(n\) gegebene natürliche Zahlen; so gibt es eine nur von \(s\) und \(n\) abhängige natürliche Zahl \(b\), so daß für jedes solche \(\lambda\) die Gleichung \(\lambda(x) = \lambda(x+n) =1\) für ein \(x\) aus dem Intervall \([s,s+b]\) lösbar ist.
Zum Beweise dieses Hauptsatzes dient folgendes Lemma: Zu gegebenem \(s\) existiert ein nur von \(s\) abhängiges \(b\), so daß \(\lambda(x) = \lambda(x-1) =1\) im Intervall \([s,s+b]\) lösbar ist; und der kleinste geeignete Wert von \(b\) liegt schon unterhalb von \(s^2+ 5s + 9\). Dieses Lemma wird durch eine sehr elegante sinnige Schlußführung gezeigt.

MSC:

11A15 Power residues, reciprocity
11A25 Arithmetic functions; related numbers; inversion formulas
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI

References:

[1] Brauer, A., Uber Sequenzen un Poternzresten, S.-B. Deutsch. Akad. Wiss. Berlin, 9-16 (1928) · JFM 54.0169.02
[2] Brillhart, J.; Lehmer, D. H.; Lehmer, E., Bounds for pairs of consecutive seventh and higher power residues, Math. Comp., 18, 397-407 (1964) · Zbl 0124.27901
[3] Chowla, S., (The Riemann Hypothesis and Hilberts Tenth Problem (1965), Gordon & Breach: Gordon & Breach New York)
[4] Dunton, M., Bounds for pairs of cubic residues, (Proc. Amer. Math. Soc., 16 (1965)), 330-332 · Zbl 0127.01806
[5] Lehmer, D. H.; Lehmer, E., On runs of residues, (Proc. Amer. Math. Soc., 13 (1962)), 102-106 · Zbl 0104.03704
[6] Lehmer, D. H.; Lehmer, E.; Mills, W. H., Pairs of consecutive power residues, Canad. J. Math., 15, 172-177 (1963) · Zbl 0106.26002
[7] Lehmer, D. H.; Lehmer, E.; Mills, W. H.; Selfridge, J. L., Machine proof of a theorem on cubic residues, Math. Comp., 16, 407-415 (1962) · Zbl 0105.26501
[8] Mills, W. H.; Bierstedt, R., On the bound for a pair of consecutive quartic residues modulo a prime \(p\), (Proc. Amer. Math. Soc., 14 (1963)), 628-632 · Zbl 0114.02705
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.