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Integration of linear second order differential equations whose coefficients are linear functions of the independent variable. (Integration der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung, deren Coefficienten lineare Functionen der unabhängigen Veränderlichen sind.) (German) JFM 05.0186.02

Um die Gleichung \[ \frac{d^2y}{dx^2}+p \frac{dy}{dx}+ qy=0, \tag{1} \] wo \(p\) und \(q\) rationale Functionen von \(x\) sind, in Form bestimmter Integrale zu integriren, wird nach dem Vorgange von Euler \[ y=P \int_{u_0}^{u_1} e^{Qu} u^{\alpha-1} (c-u)^{\beta-1}\,du \tag{2} \] gesetzt, wo \(P\) und \(Q\) noch zu bestimmende Functionen von \(x\) bedeuten und \(u_0\), \(u_1\), \(\alpha\), \(\beta\), \(c\) constant sind. Der Ausdruck, in welchen die linke Seite von (1) durch die Substitution (2) übergeht, wird \(=[Re^{Qu} u^\alpha (c-u)^\beta ]_{u_0}^{u_1}\) gesetzt, wodurch 3 Relationen zwischen \(p\), \(q\), \(r\), \(\alpha\), \(\beta\), \(P\), \(Q\) erhalten und für \(u_0\), \(u_1\) Werthe genommen werden, für welche der Ausdruck in Klammern verschwindet. Insbesondere wird \[ P=x^m e^{ax+bx^n}, \quad Q=\gamma x^n \] gesetzt. Enthält die Gleichung (1) in ihren Coefficienten nur lineare Functionen in \(x\), so lassen sich \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(a\), \(b\), \(c\), \(m\) stets so bestimmen, dass \(p\) und \(q\) die gegebenen Werthe erlangen, wenn je nach den Umständen, \(n\) die Werthe \(\frac12\), 1, \(\frac32\), 2 beigelegt werden. Der Verfasser behandelt nun die Gleichung \[ (H_0x+H) \frac{d^2y}{dx^2}+ 2(K_0x+K) \frac{dx}{dx}+ (L_0x+L)y=0, \tag{3} \] welche schon mehrfach untersucht ist, bei deren Lösung es aber dem Verfasser vor Allem darauf ankommt, dass sie den Forderungen der analytischen Allgemeinheit entspricht, also sowohl für reelle als complexe Werthe der darin vorkommenden Grössen gültig ist, und dass die Darstellung eine einheitliche ist, bei welcher die Zahl der Unterscheidungen auf das durch die Natur der Sache bedingte Mass beschränkt bleibt. (§1).
Es werden 3 Fälle unterschieden: \[ 1) \qquad H_0=0, \quad K_0=0, \quad L\gtrless 0. \] Dieser Fall wird durch die Substitution \(L_0 x+L= L_0x'+ K^2\) auf die Gleichung: \[ \frac{d^2y}{dx^2}+2k \frac{dy}{dx}+ (l_0x+k^2)y=0 \] zurückgeführt. Hier ist \(n=\frac32\) zu setzen, für \(m\) erhält man 2 Auflösungen 0 und 1, denen entsprechend sich die beiden Integrale ergeben: \[ e^{-kx- \frac23 x^{\frac32} \sqrt{-l_0}} \int_{u_0}^{u_1} e^{\gamma x^{\frac32}u} \{u(c-u)\}^{-\frac56}\,du, \]
\[ xe^{-kx-\frac23 x^{\frac32} \sqrt{-l_0}} \int_{u_0}^{u_1} e^{\gamma x^{\frac32 u}} \{u(c-u) \}^{-\frac16}\, du. \] Zwischen \(c\) und \(\gamma\) besteht die Relation: \(c\gamma= \frac43 \sqrt{-l_n}\). Es ist \(u_0=0\) und \(u_1=\infty\) zu setzen, wenn \(c\) und \(\gamma\) so gewählt werden, dass der reelle Theil von \(\gamma x^{\frac32}\) negativ ist. Setzt man \(c=1\), also \(\gamma= \frac43 \sqrt{-l_0}\), so ist \(u_0=0\), \(u_1=1\) zu setzen. (§2, 3). \[ 2)\qquad H_0=0, \quad K_0\gtrless 0, \quad L\gtrless 0. \] Reduktion auf die Gleichung: \[ \frac{d^2y}{dx^2}+ 2(k_0x+k)- \frac{dy}{dx}+ 2(k_0kx+l)y=0 \] vermittelst der Substitution: \[ K_0x+K= K_0x'+ \frac{L_0}{2K_0}. \] Hier ist \(n=2\), die beiden Lösungen für \(m\), 0 und 1, liefern die beiden Integrale: \[ e^{-kx-k_0x^2} \int_{u_0}^{u_1} e^{\gamma x^2u}\, u^{\alpha-1} (c-u)^{\beta-1}\, du, \]
\[ xe^{-kx-k_0x^2} \int_{u_0}^{u_1} e^{\gamma x^2u} u^{\alpha-\frac12} (c-u)^{\beta- \frac12}\, du, \] wo \[ a= \frac{k^2-l}{4k_0}+ {\textstyle \frac12}, \quad \beta=- \frac{k^2-l}{4k_0}, \quad c\gamma=k_0. \] Zur Bestimmung der Grenzen \(u_0\) und \(u_1\) werden alle möglichen Fällen in die beiden Hauptfälle: \[ \begin{matrix} \r\;&\;&\;&\;&\;&\r\;&\;&\\ 1) &\text{reeller} &\text{Theil} &\text{von} &\alpha &\text{positiv}, &\beta &\text{beliebig},\\ 2) &" &" &" &\beta &"\quad, &\alpha &" \end{matrix} \] zusammengefasst, und für beide als Grenzwerthe 0 und \(\infty\) erhalten, wobei jedoch im letzteren Falle in den betreffenden Integralen zuvor \(c-u\) für \(u\) einzusetzen ist. (§4).
3) Alle 3 Grössen \(H_0\), \(K_0\) und \(L_0\) von Null verschieden. Reduktion auf die Form \[ x\frac{d^2y}{dx^2}+ 2(k_0x+k) \frac{dy}{dx}+ (l_0x+ l)y=0 \] vermittelst der Substitution \(H_0x+H= H_0x'\).Hier ist \(n=1\), die beiden Lösungen für \(m\) sind alsdann 0 und \(1-2k\) und die entsprechenden beiden Integrale \[ e^{-(k_0+ \sqrt{k_0^2-l_0})^x} \int_{u_0}^{u_1} e^{\gamma xu} u^{\alpha-1} (c-u)^{\beta-1}\,du, \]
\[ x^{1-2k} e^{-k_0+ \sqrt{k_0^2-l_0})^x} \int_{u_0}^{u_1} e^{\gamma xu}u^{-\beta} (c-u)^{-\alpha}\,du, \] wo \[ \alpha=k+ \frac{2k_0k-l} {2\sqrt{k_0^2-l_0}}, \quad \beta=k- \frac{2k_0 k-l}{2\sqrt{k_0^2- l_0}}, \quad c\gamma= 2\sqrt{k_0^2-l_0}, \] zu welchen noch 2 andere hinzutreten, die aus den vorstehenden durch Vertauschung von \(u\) mit \(c-u\) hervorgehen. Für die Grenzen \(u_0\) und \(u_1\) können wieder durchgehends 0 und \(\infty\) genommen werden. Die passende Bestimmung jedoch von \(c\) und \(\gamma\) (gemäss der Gleichung \(c\gamma= \sqrt{k_0^2-l_0})\) macht die Unterscheidung von 4 Fällen je nach den Vorzeichen der reellen Theile von \(\alpha\) und \(\beta\) nothwendig (§5). Eine besondere Behandlung erfordert der Fall \(k_0^2-l_0=0\), welcher Gegenstand des §6 ist. Zur Anwendung der allgemeinen Formeln sind an den betreffenden Stellen Beispiele eingefügt.
Der Verfasser bemerkt noch, dass, wenn die in Gleichung (3) vorkommenden constanten Grössen und die Variable \(x\) reell sind und das Imaginäre in den Integralen nur durch die Einführung von \(\gamma\) herrührt, leicht aus jedem einzelnen Integral durch Trennung des Reellen und Imaginären 2 Integrale abgeleitet werden können, was für eines der obigen Formelpaare ausgeführt wird.
Endlich zeigt noch der Verfasser, dass die Differentialgleichung mit nicht linearen Coefficienten: \[ \frac{d^2y}{dx^2}+ ax^n\frac{dy}{dx}+ bx^{n- 1}y=0 \] durch die Substitution \(ax^{n+1}= (n+1)x'\) auf die Form (3) zurückgeführt wird. Die Integration derselben wird für den Fall, dass \(a=-1\), \(b\) und \(n\) reell und positiv und \(x\) reell ist, durchgeführt.

MSC:

34A30 Linear ordinary differential equations and systems
34A05 Explicit solutions, first integrals of ordinary differential equations