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Some remarks on a conjecture of Waldschmidt. (English) Zbl 0534.10026
Approximations diophantiennes et nombres transcendants, Colloq. Luminy/Fr. 1982, Prog. Math. 31, 329-336 (1983).
[For the entire collection see Zbl 0504.00005.]
Le titre fait allusion à la conjecture suivante, formulée par le rapporteur en 1981 [Sémin. Théor. Nombres, Univ. Bordeaux I 1981- 1982, Exp. No.12 (1982)]. Soient G un groupe algébrique commutatif défini sur le corps \({\bar {\mathbb{Q}}}\) des nombres algébriques, \(T_ G({\mathbb{C}})\) son espace tangent à l’origine sur \({\mathbb{C}}\), muni de sa structure d’espace vectoriel sur \({\bar {\mathbb{Q}}}\), et \(V={\mathbb{C}}u_ 1+...+{\mathbb{C}}u_ r\) un sous-\({\mathbb{C}}\)-espace vectoriel de \(T_ G({\mathbb{C}})\), engendré par des éléments \(u_ 1,...,u_ r\) tels que \(\exp_ G u_ j\in G({\bar {\mathbb{Q}}})\), 1\(\leq j\leq r\). On désigne par n la dimension du plus petit sous-espace vectoriel de \(T_ G({\mathbb{C}})\), défini sur \({\bar {\mathbb{Q}}}\), contenant V. Alors \(\exp_ G V\) est contenu dans un sous-groupe algébrique de G de dimension \(\leq n.\)
C’est ensuite un exercise sur les sous-groupes algébriques d’un groupe algébrique de déduire de cette conjecture les principaux énoncés de transcendance et d’indépendance linéaire que l’on obtient ou que l’on espère obtenir par la méthode de Baker [voir à ce sujet D. Bertrand, ibid. 31, 1-45 (1983; Zbl 0526.10029)]. D’autre part il est bien connu que le seul élément qui manquait à la méthode de Baker pour établir cette conjecture était un ”lemme de zéros” du style de ceux établis d’abord par D. W. Masser et l’A. [Invent. Math. 64, 489-516 (1981; Zbl 0467.10025)], mais avec des multiplicités.
Dans cet exposé, l’A. annonce avoir démontré la conjecture. Il l’énonce sous trois formes équivalentes, et en donne quelques corollaires. Il a de nouveau annoncé ce résultat l’année suivante [l’A., Number theory, Proc. Journ. arith., Noordwijkerhout/Neth. 1983, Lect. Notes Math. 1068, 280-296 (1984)]. La démonstration du lemme de zéros doit paraître, semble-t-il, dans Ann. Math., II. Ser. [cf. ref. [20], p. 388 de l’A., Invent. Math. 72, 363-388 (1983; Zbl 0528.10024)].
Reviewer: M.Waldschmidt

MSC:
11J81 Transcendence (general theory)
14L10 Group varieties
11J85 Algebraic independence; Gel’fond’s method