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Generalized canonical transformations for time-dependent systems. (English) Zbl 0548.70010
Die Methoden der Differentialgeometrie wurden zur Ableitung der Hamiltonschen und der Lagrangeschen Formulierungen für zeitunabhängige klassische Systeme des öfteren herangezogen und führten zur Theorie lokaler dynamischer Systeme [R. Abraham und J. Marsden, Foundation of Mechanics (1978; Zbl 0393.70001)]. Für rheonome Systeme ist diese Theorie jedoch nicht so übersichtlich, die geometrische Deutung der kanonischen Transformationen bleibt unklar. Erst die Einführung eines erweiterten Phasenraumes und einer verallgemeinerten kanonischen Transformation gestattet die Reduktion des zeitabhängigen Problems auf ein autonomes dynamisches System. Die dynamische Evolution kann als einparametrige Gruppe von Symplektomorphismen betrachtet werden. Das Studium der erzeugenden Funktion der kanonischen Transformation führt auf die Hamilton- Jacobi’sche Theorie.
Als Beispiele werden das zweidimensionale Kepler Problem [P. Kustaanheimo und E. Stiefel, J. Reine Angew. math. 218, 204-219 (1965; Zbl 0151.349)] und der zeitabhängige Oszillator [P. G. L. Leach, J. Aust. Math. Soc., Ser. B 22, 12-21 (1980; Zbl 0429.70017)] besprochen und gezeigt, daß gewisse Ansätze als Folge einer allgemeinen kanonischen Transformation direkt bestimmt werden können.
Reviewer: F.Selig

MSC:
70H15 Canonical and symplectic transformations for problems in Hamiltonian and Lagrangian mechanics
70G10 Generalized coordinates; event, impulse-energy, configuration, state, or phase space for problems in mechanics
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References:
[1] DOI: 10.1088/0305-4470/16/1/010 · Zbl 0521.58055 · doi:10.1088/0305-4470/16/1/010
[2] Kustaanheimo P., J. Reine Angew. 218 pp 204– (1965)
[3] Stiefel E., C. R. Acad. Sci. Paris A 267 pp 950– (1968)
[4] DOI: 10.1063/1.523161 · doi:10.1063/1.523161
[5] DOI: 10.1017/S0334270000002502 · Zbl 0429.70017 · doi:10.1017/S0334270000002502
[6] DOI: 10.1063/1.525329 · Zbl 0515.70018 · doi:10.1063/1.525329
[7] DOI: 10.1063/1.525515 · Zbl 0511.70025 · doi:10.1063/1.525515
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