×

zbMATH — the first resource for mathematics

Modular forms on half-spaces of quaternions. (English) Zbl 0564.10032
Lecture Notes in Mathematics. 1143. Berlin etc.: Springer-Verlag. xiii, 203 p. DM 31.50 (1985).
Sei \(\mathbb{H}\) der Schiefkörper der reellen Quaternionen und
\[ HQ(n;\mathbb{H}) := \{Z=X+iY\in \operatorname{Mat}(n;\mathbb{H})\otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C};\ X=\bar X',\ Y=\bar Y',\ Y\text{ positiv definit}\}, \]
wobei \(\bar{}\) die kanonische Involution von \(\mathbb{H}\) bedeutet. Dieser “Halbraum von Quaternionen” soll jetzt die Rolle des Siegelschen Halbraumes einnehmen; dabei wird die symplektische Gruppe ersetzt durch \(\mathrm{Sp}(n;\mathbb{H}):=\{M\in \operatorname{Mat}(2n,\mathbb{H});\ \bar M'JM=J\}\) und die Siegelsche Modulgruppe wird ersetzt durch \(\Gamma_n:= \mathrm{Sp}(n;\mathcal O)\), wobei \(\mathcal O\) die Ordnung der Hurwitz-Quaternionen bedeutet. Mit diesen Begriffen wird begonnen, eine Theorie der Modulformen des Halbraumes der Quaternionen analog zur Theorie der Siegelschen Modulformen durchzuführen: Es wird ein Fundamentalbereich von \(HQ(n;\mathbb{H})\) in bezug auf \(\Gamma_n\) konstruiert, Thetareihen, Eisensteinreihen, Poincaréreihen werden in dem gesteckten Rahmen eingeführt und ihre Zusammenhänge mit Modulformen dargelegt, der Körper der Modulfunktionen des Halbraumes der Quaternionen wird beschrieben. Eine Fülle von Resultaten über diese neuen Modulformen, aber auch neue Aspekte in der Theorie der Hermiteschen Modulformen und in der Theorie der Siegelschen Modulformen treten ans Tageslicht. Weitere interessante Themen wie Kompaktifizierung und Theorie der Hecke-Operatoren plant der Verf. in weiteren Arbeiten anzugreifen.
Die Monographie basiert auf einer unter Anleitung von M. Koecher angefertigten Dissertation. Sie enthält auch bisher unveröffentlichte Ergebnisse einer Vorlesung von M. Koecher [Matrizen-Rechnung und Modulformen, Münster 1980]. Die Darstellung ist klar und übersichtlich.

MSC:
11F46 Siegel modular groups; Siegel and Hilbert-Siegel modular and automorphic forms
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11F55 Other groups and their modular and automorphic forms (several variables)
Full Text: DOI