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Sur les images directes de \({\mathcal D}\)-modules. (French) Zbl 0572.32014
Dans cet article, l’A. démontre une version K-théorique du théorème de Kashiwara relatif aux images directes de \({\mathcal D}\)- modules. Ce résultat a son origine dans le théorème de Riemann-Roch pour les \({\mathcal D}\)-modules. Soit X une variété analytique compacte et \(V\subset T^*X\) un sous-ensemble analytique fermé homogène. Notons \(K_ V[T^*X]\) le groupe de Grothendieck des gr \({\mathcal D}_ X\)- modules cohérents à support dans V et admettant une bonne filtration. Si M est un \({\mathcal D}_ X\)-module cohérent admettant une bonne filtration, avec car(M)\(\subset V\), on définit l’élément \([M]_ V\subset K_ V[T^*X]\) comme la classe de gr M. La définition de \([M]_ V\) s’étend de la façon habituelle au cas où M est un complexe de \(D^ b({\mathcal D}_ X)_ c\) dont les groupes de cohomologie possèdent les propriétés précédentes. Soit \(f: Y\to X\) un morphisme de variétés analytiques compactes et \(V\subset T^*Y\) un sous-ensemble analytique fermé homogène. Si M est un \({\mathcal D}_ Y\)- module admettant une bonne filtration, avec car(M)\(\subset V\), le théorème de Kashiwara nous dit que les \(H^ if_*M\) sont cohérents et \(car(H^ if_*M)\subset W=\bar fF^{-1}V\), où \(T^*Y\leftarrow^{F}Y\times_ XT^*X\to^{\bar f}T^*X\) sont les morphismes naturels définis par f. Le résultat principal de l’article nous dit que: (1) les \(H^ if_*M\) admettent une bonne filtration; (2) [f\({}_*M]_ W=\bar f_*F^*[M]_ V\), où les morphismes: \(K_ V[T^*Y]\to^{F^*}K_{F^{-1}V}[Y\times_ XT^*X]\to^{\bar f_*}K_ W[T^*X]\) proviennent des morphismes d’espaces annelés suivants: \((T^*Y,gr {\mathcal D}_ Y)\leftarrow^{F}(Y\times_ XT^*X,gr {\mathcal D}_{Y\to X})\to^{f}(T^*X,gr {\mathcal D}_ X).\) Finalement on étudie une version ”graduée” du résultat précédent par rapport à la filtration introduite par Houzel et Shapira.
Reviewer: L.Narvaez-Macarro

MSC:
32L05 Holomorphic bundles and generalizations
14F10 Differentials and other special sheaves; D-modules; Bernstein-Sato ideals and polynomials
14C35 Applications of methods of algebraic \(K\)-theory in algebraic geometry
32L10 Sheaves and cohomology of sections of holomorphic vector bundles, general results
18F30 Grothendieck groups (category-theoretic aspects)
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Full Text: DOI EuDML
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