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Eigenschaften von rationalen Abbildungen lokaler Körper. (Properties of rational mappings of local fields). (German) Zbl 0573.12004

Abteilung für Mathematik der Ruhr-Universität Bochum. 75 S. (1985).
In der vorliegenden Dissertation werden Abbildungseigenschaften von polynomialen, rationalen und lokalanalytischen Abbildungen auf einem lokalkompakten, nichtarchimedisch bewerteten Körper K untersucht. Es wird gezeigt, daß meromorphe Funktionen lokal Kreise auf Kreise abbilden und sich daher lokal wie Monome \(f(x)=x^ n\) verhalten. Das Bild von K unter einem Monom wird genau beschrieben, was in dem Fall, daß n eine Potenz der Restklasencharakteristik von K ist, recht kompliziert ist. Ein wichtiges Hilfsmittel für diese im zweiten Kapitel hergeleiteten Ergebnisse ist die Substitutionsregel für p-adische Integrale, für die im ersten Kapitel ein neuer Beweis gegeben wird.
In Kapitel III werden nichtlineare rationale Abbildungen untersucht, die auf K bijektiv sind und Kreise auf Kreise abbilden, d.h. die als Automorphismen auf dem Bruhat-Tits Baum von K operieren. Der Autor weist für jedes K die Existenz solcher Abbildungen nach und zeigt, daß die rationalen Abbildungen dicht liegen in der Gruppe aller Automorphismen des Bruhat-Tits Baumes.
Im letzten Kapitel werden polynomische Abbildungen auf dem Restklassenring des Bewertungsringes nach einer Potenz des maximalen Ideals untersucht; insbesondere wird die Anzahl der polynomialen Abbildungen dieses endlichen Ringes bestimmt. Als Anwendung beweist der Autor eine Abschätzung für das Verhältnis von Gauß- und Supremumsnorm eines Polynoms mit Koeffizienten in K, aus der er die bekannten Sätze von Y. Amice und K. Mahler über Orthonormalbasen im Ring der stetigen Funktionen auf dem Einheitskreis herleiten kann.
Reviewer: F.Herrlich

MSC:

11S05 Polynomials
12J25 Non-Archimedean valued fields
11T06 Polynomials over finite fields
30G06 Non-Archimedean function theory