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K-théorie et zéros aux points entiers de fonctions zêta. (French) Zbl 0574.14010
Proc. Int. Congr. Math., Warszawa 1983, Vol. 1, 437-445 (1984).
[For the entire collection see Zbl 0553.00001.]
On présente les conjectures de Beilinson, Bass et l’A. concernant le lieu entre le zéro au point entier j de la fonction zêta d’un schéma quasi-projectif sur \({\mathbb{Z}}\) et la K-théorie des faisceaux cohérents sur ce schéma:
(i) \(K'_ m(X)_{(j)}\) est nul pour presque tout entier m; (ii) \(K'_ m(X)_{(j)}\) est de dimension finie sur \({\mathbb{Q}}\); (iii) l’ordre du zéro de \(\zeta_ X(s)\) au point \(s=j\) est égal à \(\sum_{m\geq 0}(-1)^{m+1}\dim_ QK'_ m(X)_{(j)}\). \((K'_ m(X)_{(j)}\) est la partie de poids j de \(K'_ m(X)\otimes {\mathbb{Q}}\) pour les opérations d’Adams, \(K'_ m(X)\) étant les groupes de Quillen). Le lieu entre ceci et les questions connexes (par exemple, les espaces de cycles et les conjectures de Tate, schémas sur un corps fini ou sur \({\mathbb{Q}},...)\) est également présenté.
Reviewer: M.Stoia

MSC:
14C35 Applications of methods of algebraic \(K\)-theory in algebraic geometry
14G10 Zeta functions and related questions in algebraic geometry (e.g., Birch-Swinnerton-Dyer conjecture)