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Quelques problèmes de prolongement de courants en analyse complexe. (French) Zbl 0578.32023
On commence par une démonstration simplifiée du théorème de H. Skoda and H. El Mir [voir H. El Mir, C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I 294, 181-184 (1982; Zbl 0512.32009)]: Etant donné, dans \(\Omega\) ouvert de \({\mathbb{C}}^ n\), un fermé \(A=u^{-1}(-\infty)\), où u est p.s.h. sur \(\Omega\), on peut prolonger à \(\Omega\) tout courant T positif fermé dans \(\Omega\) \(\setminus A\), de bidimension (p,p) et de masse finie sur \(K\setminus A\) pour tout compact \(K\subset \Omega\). On montre que ce prolongement subsiste si A appartient à une classe plus vaste, dite (p-1)-polaire, contenant par exemple les fermés dont la mesure de Hausdorff de dimension 2(p-1) est \(\sigma\)-finie.
Puis on étudie le prolongement d’un courant T normal (i.e. les coefficients de T et dT sont des mesures) et pluripositif (i.e. \(dd^ cT\) positif), de masse finie, ainsi que dT et \(dd^ cT\), sur \(K\setminus A\) pour tout compact \(K\subset \Omega\). Si A est une variété de Cauchy-Riemann, i.e. de classe \({\mathcal C}^{\infty}\) et telle que \(T_ z(A)\cap iT_ z(A)\) ait une dimension complexe k indépendante de \(z\in A:\) tout courant positif fermé (resp.: pluripositif) dans \(\Omega\) \(\setminus A\), de bidimension (p,p), est de masse finie sur \(K\setminus A\), pour tout compact \(K\subset \Omega\), si \(p\geq k+1\) \((resp.:k+2)\); en particular \((dd^ cu)^{n-k}\) est de masse finie sur les \(K\setminus A\) si u est p.s.h. sur \(\Omega\) et de classe \({\mathcal C}^ 2\) sur \(\Omega\) \(\setminus A\). On donne aussi une condition de pseudo-convexité, portant sur une partie fermée M de \(\Omega\), suffisante pour que \((dd^ cu)^ n\) soit de masse finie sur \(K\setminus M\) pour tout compact \(K\subset \Omega\).
Reviewer: M.Hervé

MSC:
32D15 Continuation of analytic objects in several complex variables
32C30 Integration on analytic sets and spaces, currents
32C25 Analytic subsets and submanifolds
32U05 Plurisubharmonic functions and generalizations
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