×

zbMATH — the first resource for mathematics

Eléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitre 8: Dimension. Chapitre 9: Anneaux locaux noethériens complets. (French) Zbl 0579.13001
Paris etc.: Masson. 200 p. FF 150.00 (1983).
Die in den Jahren 1961-1965 erschienenen sieben Kapitel von Bourbaki’s ”Algèbre commutative” setzt nunmehr dieser 5. Band mit zwei weiteren Kapitel fort. Der äußere Aufbau, Stil der Darstellung, Art und Umfang der Übungsaufgaben sind weitgehend beibehalten. Wiederum enthält der Text eine Fülle von Querverweisen, sodaß häufiges Nachschlagen in anderen Teilen des Gesamtwerkes von Bourbaki unvermeidbar ist. Das Auffinden zitierter Stellen wird allerdings dann fast unmöglich, wenn man ältere Auflagen benutzt. Andererseits kann die Darstellung durch konsequentes Ausnutzen von Begriffen und Ergebnissen anderer Bände knapp und präzise gehalten werden.
Kapitel 8 (”Dimension”) beschäftigt sich zunächst mit der Krulldimension von Ringen. Kennzeichnungen und Eigenschaften des Dimensionsbegriffes für Algebren, noethersche Ringe, graduierte Ringe folgen. In diesem Zusammenhang werden auch weitere Invarianten (Multiplizität, Hilbertfunktion) und die Theorie regulärer lokaler Ringe behandelt; für vollständige lokale noethersche reguläre Ringe werden Struktursätze angeführt.
Im 9. Kapitel (”Anneaux locaux noethériens complets”) finden sich neben Strukturaussagen über diese Ringe als Hauptthemen: Wittsche Vektoren, Cohen-Ringe, Aussagen über die Existenz von Koeffizientenkörpern. Zum Studium des ganzen Abschlusses lokaler vollständiger noetherscher Ringe werden Nagata-Ringe herangezogen.
Reviewer: K.Plewe

MSC:
13-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to commutative algebra
13C15 Dimension theory, depth, related commutative rings (catenary, etc.)
13J10 Complete rings, completion
13K05 Witt vectors and related rings (MSC2000)
13H05 Regular local rings
13H15 Multiplicity theory and related topics
13E05 Commutative Noetherian rings and modules