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Sous-groupes analytiques de groupes algébriques. (French) Zbl 0579.14039
Soient G un groupe algébrique défini sur la clôture algébrique \({\bar {\mathbb{Q}}}\) de \({\mathbb{Q}}\) dans \({\mathbb{C}}\), et \(\phi\) : \({\mathbb{C}}^ n\to G({\mathbb{C}})\) un homomorphisme analytique. En général, \(\phi ({\mathbb{C}}^ n)\) n’est pas un sous-groupe algébrique de G(\({\mathbb{C}})\), mais s’enroule autour de son adhérence de Zariski. Nous allons donner des conditions arithmétiques qui assurent que l’image est fermée. Ce problème a été étudié d’abord par S. Lang [”Introduction to transcendental numbers” (1966; Zbl 0144.041); chapter II] pour les sous-groupes à un paramètre.
Dans le cas général (n\(\geq 1)\), les premiers résultats sur ce sujet ont été obtenus par E. Bombieri et S. Lang [Invent. Math. 11, 1-14 (1970; Zbl 0237.14015)].
Les énoncés ici imposaient des conditions sévères sur l’approximation diophantienne des logarithmes. Ces conditions provenaient d’une estimation analytique, le lemme de Schwarz.
Nous utilisons ici une approche différente, qui évite le lemme de Schwarz, mais qui utilise un résultat puissant, le ”lemme de zéros” de D. W. Masser et G. Wüstholz [Invent. Math. 64, 489-516 (1981; Zbl 0467.10025)].
Nous introduisons un nombre \(\rho =\rho (G)\) défini par \(\rho =1\) si G est linéaire, \(\rho =2\) sinon.
Voici l’énoncé précis: Théorème. Soient G une groupe algébrique défini sur \({\bar {\mathbb{Q}}}\) de dimension d, \(\phi\) : \({\mathbb{C}}^ n\to G({\mathbb{C}})\) un sous-groupe à n paramètres de G, de dimension d, et Y un sous-groupe de \({\mathbb{C}}^ n\) de rang m sur \({\mathbb{Z}}\) tel que \(\phi\) (Y)\(\subset G({\bar {\mathbb{Q}}})\). On suppose \(md>n(m+d\rho).\) Alors il existe un sous-espace vectoriel V de \({\mathbb{C}}^ n\) tel que, si H désigne l’adhérence de Zariski sur \({\bar {\mathbb{Q}}}\) de \(\phi\) (V), et si on note \(n_ 1=\dim_{{\mathbb{C}}}({\mathbb{C}}^ n/V)\), \(d_ 1=\dim (G/H)\), et \(m_ 1=rang_{{\mathbb{Z}}}(Y/Y\cap V)\), on ait \(n_ 1>0\), \(d_ 1/n_ 1>d/n\), et \(m_ 1d_ 1\leq n_ 1(m_ 1+d_ 1\rho)\).

MSC:
14L10 Group varieties
11J85 Algebraic independence; Gel’fond’s method
32H99 Holomorphic mappings and correspondences
14G25 Global ground fields in algebraic geometry
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