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Extremal plurisubharmonic functions and capacities in \({\mathbb{C}}^ n\). (English) Zbl 0579.32025
Sophia Kôkyuroku in Mathematics, 14. Tokyo: Sophia University, Department of Mathematics. 97 p. (1982).
C’est une monographie consacrée aux récents travaux de l’A. sur la théorie du potentiel complexe.
Sur \({\mathbb{C}}^ N\) on considère L la classe des fonctions plurisousharmoniques (psh) à croissance minimale, \(G=\{\exp u:\quad u\in L\},\) \(H=\{f\in PSH({\mathbb{C}}^ N):\quad f(tz)=| t| f(z)\}.\) Relation importante entre les classes G et H: l’application \(H({\mathbb{C}}\times {\mathbb{C}}^ N)\ni h(x_ 0,x)\to g(x)=h(1,x)\in G({\mathbb{C}}^ N)\) est bijective. Ceci permet d’établir des théorèmes d’approximation pour les fonctions de la classe G, à l’aide des théorèmes analogues pour la classe H, plus faciles à démontrer à cause de l’homogénéité. Ces résultats fournissent une preuve élémentaire des identités \[ Sup\{f\in G:\quad f\leq 1\text{ sur }E\}= Sup\{| P|^{1/\deg P}:\quad P\text{ polynôme }\not\equiv \text{const},\quad \| P\|_ E\leq 1\} \]
\[ Sup\{f\in H:\quad f\leq 1\text{ sur }E\}= Sup\{| P|^{1/\deg P}:\quad P\text{ polynôme homogène},\quad \| P\|_ E\leq 1\} \] lorsque E est un compact de \({\mathbb{C}}^ N\). Les fonctions \(\Phi_ E\) et \(\psi_ E\) définies par les seconds membres ont été étudiées par l’A. depuis un quart de siècle. Pour E borné, on adopte les premiers membres comme définitions de \(\Phi_ E\) et \(\psi_ E\), pour E non borné, on pose \(\Phi_ E=Inf\{\Phi_ F:\) F borné \(\subset E\},\) \(\psi_ E=\) etc...
Ces fonctions servent à définir plusieurs nouvelles capacités dans \({\mathbb{C}}^ N\). Nous en citons deux: Soit X un compact de \({\mathbb{C}}^ N\) tel que \(\Phi^*_ X=1\) sur X, on définit les fonctions d’ensembles \[ c(E,X,G)=(\| \Phi_ E\|_ X)^{-1},\quad c(E,X,H)=(\| \psi_ E\|_ X)^{-1}; \] l’A. montre qu’elles sont des capacités généralisées au sens de Choquet et que les ensembles de capacité nulle pour la première (resp. la seconde) sont ceux contenu dans l’ensemble des zéros d’un \(f\in G\) (resp. \(f\in H)\), \(f\not\equiv 0.\)
Le cas où X est la boule unité relative à une norme de \({\mathbb{C}}^ N\) est particulièrement intéressante. On montre alors que \(c(E,X,H)\) est le plus grand des \(r\geq 0\) tel que \(rX\subset \{\psi^*\!_ E(x)<1\}.\) On donne ensuite des formules pour calculer \(c(E,X,G)\) et \(c(E,X,H)\) en termes de constantes de Tchebicheff et de points extrémaux.
Applications à la croissance des fonctions psh et aux domaines de convergence des séries de polynômes homogènes. On obtient notamment la forme précise suivante de l’inégalité de Sibony-Wong: Soit E un ensemble borné, cerclé et non pluripolaire dans \({\mathbb{C}}^ N\), soit \(\| \cdot \|\) une norme de \({\mathbb{C}}^ N\) et B la boule unité relative à cette norme, alors pour tout \(u\in PSH({\mathbb{C}}^ N)\) \(Sup\{u(x): \| x\| \leq c(E,B,H)\}\leq Sup\{u(x): x\in E\}.\)
Reviewer: Nguyen Thanh Van

MSC:
32U05 Plurisubharmonic functions and generalizations
32-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to several complex variables and analytic spaces
31C15 Potentials and capacities on other spaces
32A05 Power series, series of functions of several complex variables
32A22 Nevanlinna theory; growth estimates; other inequalities of several complex variables
32E30 Holomorphic, polynomial and rational approximation, and interpolation in several complex variables; Runge pairs
32D05 Domains of holomorphy