La construction de la déformation semi-universelle d’un germe de variété analytique complexe. (Construction of semi-universal deformations of germs of complex analytic varieties). (French) Zbl 0583.32052

Hauser, Herwig

Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 18, 1-56 (1985).

Für einen Raumkeim \((X_ 0,0)\) mit isolierter Singularität wurde von H. Grauert [Invent. Math. 25, 107-142 (1974; Zbl 0286.32015)] die Existenz einer semi-universellen Deformation \(h: (X,0)\to (S,0)\) gezeigt. Ist die Singularität von \((X_ 0,0)\) von endlichem Typ, d.h. kann \(X_ 0\) beschrieben werden als Nullstellengebilde einer Abbildung \(f: U\to {\mathbb{C}}^ p\) mit \(\dim_{{\mathbb{C}}}K^ 1_ f<\infty\), wo \(K^ 1_ f:=O^ p_{u,0}/T^ 1_ f\) mit \[ T^ 1_ f=(f_ 1,\ldots,f_ p)O^ p_{u,0}+(\partial f/\partial x_ 1,\ldots,\partial f/\partial x_ n)O_{u,0}, \] dann besitzt f nach Mather eine semi-universelle Erweiterung \(F: (Z\times U,0)\to ({\mathbb{C}}^ p,0).\)
Setzt man \((X,0):=(F^{-1}(0),0)\) und H: (X,0)\(\hookrightarrow (Z\times U,0)\to (Z,0)\), so gibt es einen Unterraum (S,0)\(\subset (Z,0)\), so daß \(h: (X_ S,0)\to (S,0)\) einen in 0 flachen Morphismus liefert. Hier ist \(X_ S\) das Faserprodukt. (S,0) heißt lokaler ”Platifikateur”; seine Existenz wurde von Hironka, Lejeune und Teissier bewiesen. \(h: (X_ S,0)\to (S,0)\) ist dann die semi-universelle Deformation von \((X_ 0,0).\)
Dieses Verfahren wird in der vorliegenden Arbeit auf den Fall einer beliebigen isolierten Singularität verallgemeinert, indem die Existenz eines lokalen ”Platifikateurs” und semi-universeller Erweiterungen in der Kategorie Banach-analytischer Räume studiert wird. Dieses Konstruktionsverfahren wird dann für Beispiele explizit durchgeführt.

Reviewer: P.Pflug

MSC:

32G05	Deformations of complex structures
32S30	Deformations of complex singularities; vanishing cycles
32S05	Local complex singularities
32K05	Banach analytic manifolds and spaces

Keywords:

semi-universal deformation of complex analytic varieties; local platificateur; semi-universal extension in Banach analytic spaces; semi- universal deformation of isolated singularities

Citations:

Zbl 0286.32015

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