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Class field theory. (English) Zbl 0587.12001
Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 280. Berlin etc.: Springer-Verlag. VIII, 140 p. DM 84.00 (1986).
Gegenstand der Klassenkörpertheorie sind die abelschen Erweiterungen lokaler und globaler Körper. Diese Theorie wurde im ersten Drittel dieses Jahrhunderts entwickelt und ist verbunden mit den Namen Hilbert, Weber, Takagi, Artin und Hasse. Sie gibt für die genannten Körper, insbesondere also Zahl- und p-adische Körper eine vollständige Übersicht über die abelschen Erweiterungen allein in Termen des Grundkörpers. Eine erste umfassende Darstellung dieser Theorie für Zahlkörper ist H. Hasse’s Zahlbericht [Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie algebraischer Zahlkörper (1965; Zbl 0138.032)] aus den Jahren 1926-30.
Seitdem hat sich die Darstellung der Theorie mehrfach gewandelt; durch die Ausweitung auf den Funktionenkörperfall und die Verwendung der Brauergruppe, durch die Einführung der Idele in die algebraische Zahlentheorie sowie durch die einheitliche Behandlung der lokalen und globalen Theorie unter Verwendung der Kohomologie [E. Artin and J. Tate, Class field theory (1968; Zbl 0176.335)]. Eine ausführliche Verwendung der Gruppenkohomologie kennzeichnet auch die erste Darstellung dieses Themas durch den Verf. [N \(=\) Klassenkörpertheorie (1969; Zbl 0199.375)].
Im nun vorliegenden Buch gleichen Titels (dies ist keine englische Übersetzung von [N] !) entwickelt der Autor einen direkten Zugang zu den Hauptsätzen der Klassenkörpertheorie, der insbesondere die Verwendung der Gruppenkohomologie wieder weitgehend vermeidet. So nimmt die Kohomologie in Kapitel I, in dem die Grundlagen bereitgestellt werden, nur 2 Paragraphen (6 Seiten) ein und umfaßt neben der Definition von \(H^ 0\), \(H^ 1\), \(H^{-1}\) lediglich den Verbindungshomomorphismus von \(H^ 0\) nach \(H^ 1\), die exakte Inf-Res- Sequenz in der Dimension 1 und den Herbrandquotienten. Insbesondere tritt die zweite Kohomologie \(H^ 2\), und damit die Brauergruppe, nicht mehr auf.
Kapitel I enthält außerdem noch einen Abriß der Kummertheorie sowie eine Darstellung der Krullschen Galoistheorie für unendliche Erweiterungen und der Grundbegriffe für proendliche Gruppen, beides wichtige Ingredienzien angesichts der Konzeption des Buches.
Diese Konzeption wird in Kapitel II ’General class field theory’ entwickelt. Der Autor leitet dort Existenz und wesentliche Eigenschaften des Reziprozitätsisomorphismus \(r_{L| K}\) für endliche galoissche Erweiterungen \(L| K\) aus drei Grundannahmen her, die dann ihrerseits für Zahl- und p-adische Körper nachzuweisen sind. Letzteres geschieht in den Kapiteln III ’Local class field theory’ und IV ’Global class field theory’.
In Kapitel II geht man aus von einem Körper k, dem ’Grundkörper’, und seiner absoluten Galoisgruppe \(G=G_ k\). Die ersten beiden der 3 Grundforderungen entstammen der lokalen Theorie, an die auch die Terminologie angelehnt ist.
1. Forderung ist die Auszeichnung einer \({\hat {\mathbb{Z}}}\)-Erweiterung \(\tilde k\) von k, d.h. einer Galoiserweiterung mit freier prozyklischer Galoisgruppe, und eines Erzeugenden \(\phi_ k\). Dann sind auch für beliebige endliche Erweiterungen \(K| k\) \({\hat {\mathbb{Z}}}\)- Erweiterungen \(\tilde K=K\cdot \tilde k\) mit Erzeugenden \(\phi_ K\) von \(G(\tilde K| K)\) festgelegt: \(\phi_ K|_{\tilde k}=\phi_ k^{f_ K}\) mit dem ’Trägheitsgrad’ \(f_ K=(K\cap \tilde k:k)\). (Im lokalen Fall ist \(\tilde K\) die maximal unverzweigte Erweiterung von K und \(\phi_ K\) der Frobeniusautomorphismus. Im Globalen ist \(\tilde K\) die zyklotomische \({\hat {\mathbb{Z}}}\)-Erweiterung, während die Auswahl von \(\phi_ k\) beliebig ist.)
2. Forderung ist die Fixierung eines G-Moduls A mit einem Homomorphismus \(v: A\to {\hat {\mathbb{Z}}}\). Die an ihn gestellte Forderung läuft auf die Existenz von Epimorphismen \(v_ K: A_ K=A^{G_ K}\to Z\) (\(\subseteq {\hat {\mathbb{Z}}})\) hinaus mit \(v\circ N_{K| k}=f_ K\cdot v_ K\). (Im Lokalen sind dies natürlich die normierten Bewertungen \(v_ K\) von \(K^{\times}.)\)
Die 3. Forderung schließlich ist das ’class field axiom’ das für alle zyklischen Erweiterungen \(L| K\) (endlich über k) verlangt: \(H^{-1}(G(L| K),A_ L)=0\) und #H\({}^ 0(G(L| K),A_ L)=(L:K)\). Diese 3. Forderung ist der globalen Situation entnommen, und bedeutet dort, daß die Gültigkeit der ’ersten’ und ’zweiten Ungleichung’ verlangt wird, allerdings nur für alle zyklischen Erweiterungen. Zugleich ist sie eine Abschwächung des Klassenformationsaxioms (siehe z.B. [N]), das ebenfalls einer einheitlichen Behandlung von lokaler und globaler Klassenkörpertheorie diente.
Die Herleitung des Reziprozitätsisomorphismus \(r_{L| K}: G(L| K)^{ab} \to A_ K/N_{L| K} A_ L\) orientiert sich an der lokalen Theorie und ordnet daher für die Teilerweiterungen \(L| K\) von \(\tilde K| K\) dem ’Frobenius’ \(\phi_ K\) ein ’Primelement’ \(\pi_ K\) von \(A_ K\) modulo den Normen zu. (Dabei ist im abstrakten Kontext ein Primelement durch \(v_ K(\pi_ K)=1\) definiert.) Die Definition der Reziprozitätsabbildung für beliebiges \(L| K\) beruht auf der Tatsache, daß jeder Automorphismus \(\sigma\in G(L| K)\) Einschränkung eines ’Frobenius’ \(\phi_{\Sigma}\) zu einem geeigneten endlichen Erweiterungskörper \(\Sigma\) von K ist. \(r_{L| K}\) ordnet daher \(\sigma\in G(L| K)\) die Norm \(N_{\Sigma | K}(\pi_{\Sigma})\) eines Primelementes \(\pi_{\Sigma}\) dieses Körpers \(\Sigma\) zu. Die Forderungen 2 und 3 ermöglichen dann den Beweis, daß auf diese Weise ein Isomorphismus \(r_{L| K}\) definiert ist.
Für den Nachweis der 3 Grundannahmen im lokalen und globalen Fall kann man nun auf bekannte Argumentationen zurückgreifen: Im lokalen Fall (Kapitel III) ist lediglich die dritte Forderung nachzuweisen; sie reduziert sich auf die Berechnung des Herbrandquotienten der Einheiten, die mit Hilfe des p-adischen Logarithmus erfolgt (vgl. J.-P. Serre [Local class field theory; in J. W. S. Cassels, A. Fröhlich (Eds.): Algebraic number theory (1967; Zbl 0153.074), Chap. VI, p. 134]). Daneben enthält Kapitel III die Lubin-Tate-Theorie zur expliziten Berechnung des Normrestsymbols, welche für die globale Theorie in Kapitel IV benötigt wird.
In Kapitel IV wählt man über dem Grundkörper \({\mathbb{Q}}\) als \({\tilde {\mathbb{Q}}}\) die (einzig mögliche) \({\hat {\mathbb{Z}}}\)-Erweiterung von \({\mathbb{Q}}\), und damit für beliebiges K als \(\tilde K\) die zyklotomische \({\hat {\mathbb{Z}}}\)-Erweiterung von K. Für die 2. Forderung wählt man \(A_ K\) als Ideleklassengruppe \(C_ K\), während die ’henselsche Bewertung’ \(v_ K\) im Globalen keine eigenständige Bedeutung hat, sondern nur indirekt definiert wird: Man konstruiert für die zyklotomische \({\hat {\mathbb{Z}}}\)-Erweiterung \(\tilde K| K\) das globale Normrestsymbol \(C_ K\to G(\tilde K| K)\) direkt aus den lokalen heraus. (Vgl. J. Tate [T \(=\) Global class field theory; in J. W. S. Cassels, A. Fröhlich (loc. cit.), Chap. VII, p. 189 ff.]; dabei wird die explizite Bestimmung des lokalen Normrestsymbols in Kreiskörpererweiterungen benutzt für den entscheidenden Nachweis, daß Hauptidele im Kern der lokal gegebenen Abbildung \(I_ K\to G(\tilde K| K)\) liegen.) Indem man dann \(G(\tilde K| K)\) über die Zuordnung \(\phi_ K\mapsto 1\) mit \({\hat{\mathbb{Z}}}\) identifiziert, erhält man den gewünschten Homomorphismus \(v_ K: C_ K\to G(\tilde K| K)\overset \sim \rightarrow {\hat{\mathbb{Z}}}.\)
Schließlich entspricht der Nachweis der 3. Forderung dem Beweis der beiden Ungleichungen, etwa wie in Tate [T, sections 8,9]: Für die erste Ungleichung berechnet man den Herbrandquotienten der Ideleklassengruppe, während sich die zweite auf die explizite Bestimmung der Normengruppen in primzyklischen Kummererweiterungen zurückführen läßt.
Der Autor hat in diesem Buch einen sehr eleganten und vergleichsweise kurzen Weg zu den Hauptsätzen der Klassenkörpertheorie für Zahl- und p-adische Körper entwickelt. Durch seine im Zahlkörperfall neuartige Definition des Reziprozitätshomomorphismus braucht er den Nachweis, daß Haupidele im Kern der Abbildung \(I_ K\to G(L| K)\) liegen, nur für Kreiserweiterungen zu erbringen, während er üblicherweise für alle abelschen Erweiterungen \(L| K\) notwendig ist (vgl. Tate [T, p. 188]). Dies ist der Grund dafür, daß die zweite Kohomologie in seinem Beweis entbehrlich wird und so das Beweisgebäude an Durchsichtigkeit gewinnt.
Außerdem bleibt so trotz des eng gesteckten Rahmens dieses Buches neben solchen selbstverständlich enthaltenen Themen wie Klassenkörper, Existenzsatz, Hilbert- und Potenzrestsymbol noch genügend Platz für die klassische idealtheoretische Darstellung der globalen Klassenkörpertheorie und eine erste Einführung in Dirichletsche und Artinsche L-Funktionen in Kapitel V. In ihrem Rahmen bedeutet die Klassenkörpertheorie, daß die Artinschen L-Funktionen zu eindimensionalen Galoisdarstellungen gerade die Dirichletschen L- Funktionen sind. Ein höher-dimensionales Analogon dieser Aussage (’Langlands-Philosophie’) ist als die seit jeher gesuchte nicht-abelsche Verallgemeinerung der Klassenkörpertheorie anzusehen, und heute Gegenstand intensiver zahlentheoretischer Forschung.
Summa summarum: Dieses wertvolle, hervorragend geschriebene Lehrbuch ist jedem Interessierten als idealer Zugang zu diesem Thema zu empfehlen.
Reviewer: N.Klingen

MSC:
11R37 Class field theory
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11S31 Class field theory; \(p\)-adic formal groups